$$\text{ Für jedes }n\in\mathbb{N}\text{ sei }fn:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}\text{ definiert durch }f_n(x)=x^n.\\[4mm]\text{(a) Zeigen Sie anhand der Funktionen }(f_n)_n\in\mathbb{N},\text{ dass die Einheitskugel }\\[2mm]\hspace{42mm}\overline{B_1(0)}:=\left\{f\in C[0m1]:||f||_\infty\leq1\right\}\subseteq C[0,1]\\[2mm]\text{ nicht kompakt in }(C[0,1],||.||_\infty)\text{ ist.}\\[4mm]\text{Wobei }A\subseteq M\text{ kompakt, falls für jede offene Überdeckung }(U_i)_{i\in I}\text{ von }A\\\text{ eine endliche Teilüberdeckung existiert. Also }\exists i_1,...,i_n \in I\text{ mit }A\subseteq \bigcup\limits_{j=1}^n U_{i_j} .\\[4mm] \text{(b) Zeigen Sie, dass die Normen }||.||_1\text{ und }||.||_\infty\text{ auf }C[0,1]\text{ nicht äquivalent sind.}$$
