$$\text{ Sei }(M,d)\text{ ein metrischer Raum und }(x_n)_{n\in\mathbb{N}}\text{ eine Folge in }M\text{. Zeigen Sie, dass }x\in M \text{ genau dann ein Häufungspunkt der Menge }\left\{x_n : n\in \mathbb{N}\right\}\text{ ist, wenn eine Teilfolge }(x_{n_k})_{k\in\mathbb{N}}\text{ mit }x_{n_k}\ne x\text{ für alle }k\in\mathbb{N}\text{ und }\lim\limits_{k\to\infty}x_{n_k}=x\text{ existiert.}$$
$$\text{Wobei für }A\subseteq M\text{ gilt: }x\in M\text{ Häufungspunkt von }A,\text{falls }\forall r>0:A\cap(B_r(x)\setminus\left\{x\right\})\ne \emptyset$$
