Zum Tensor.
Es geht hier um kassische Physik, d.h. wir haben einen euklidischen Raum mit n=3 Dimensionen.
In der Physik ist man nicht so darauf versessen, die Dinge koordinatenfrei zu definieren, daher identifiziert man einen Vektor mit seinen Komponenten bezüglich eines Koordinatensystems und definiert ihn darüber, wie sich diese Komponenten unter orthogonalen Transformationen verhalten. (Das sind, wie du sicher weißt, Drehungen und Spiegelungen).
Genauer: Stell dir vor, du hast ein Koordinatensystem KS mit Koordinaten $$x^1,...x^n,$$eine orthogonale Matrix $$M \in O(n)$$ und ein zweites Koordinatensystem KS' mit
$$ x'^i = \sum_j M^{ij} x^j.$$
Das heißt, dass das Koordinatensystem KS' relativ zu KS um einen bestimmten Winkel gedreht ist (wenn man Spiegelungen mal außen vor lässt). Ein Vektor ist jetzt ein Objekt
$$v = (v^1,...,v^n)$$
für dessen Komponenten im neuen Koordinatensystem
$$v'^i = \sum_j M^{ij}v^j$$
gilt, das heißt bei einem Vektor transformieren sich die Komponenten bei einer orthogonalen Transformation wie die Koordinaten. (Wenn du mit fancy Begriffen angeben willst, kannst du sowas sagen wie "die Vektoren bilden die Fundamentaldarstellung von O(n)")
Das lässt sich beliebig verallgemeinern:
Man hat ein Koordinatensystem mit Koordinaten x, geht zu einem neuen mit Koordinaten x', die mit x über eine orthogonale Trf. zusammenhängen und definiert:
- ein Skalar (Tensor der Stufe 0) a ist eine Größe, die sich bei dem Koordinatenwechsel in der Form
$$ a' = a,$$
also gar nicht transformiert. fancy-pantsig kann man auch sowas sagen wie "Skalare bilden die triviale Darstellung der Gruppe".
- ein Vektor (Tensor der Stufe 1) ist eine Kollektion von Größen v^i (mit i=1,...,n), die sich gemäß
$$ v'^i = \sum_j M^{ij}v^j$$
transformieren
- ein Tensor der Stufe 2 zwei besteht aus Objekten T^ij, die sich gemäß
$$ T'^{ij} = \sum_k\sum_l M^{ik}M^{jl} T^{kl}$$
transformieren usw.
Fazit
In der Kurzfassung und diesmal mit impliziter Summe (d.h. über doppelt auftretende Indizes wird jeweils von 1 bis n summiert):
Ein Tensor der Stufe k besteht aus Objekten $$T^{i_1i_2\cdots i_k},$$ die sich bei einer orthogonalen Transformation$$ x^i \mapsto x'^i = M^{ij}x^j$$ gemäß
$$T^{i_1i_2\cdots i_k} \mapsto T'^{i_1i_2\cdots i_k} = M^{i_1j_1}M^{i_2j_2}\cdots M^{i_kj_k} T^{j_1\cdots j_k}$$
transformieren.
