Abitur Analytische Geometrie

Question

Hallo.

http://bildungsserver.berlin-brandenburg.de/fileadmin/bbb/unterricht/pruefungen/gemeinsames_Abitur_Be_BB/Abituraufgaben/Abituraufgaben_2013/13_Ma_LK_Aufgaben.pdf

Es geht um das Thema Analytische Geometrie, Aufgabe 2.1 :

a)

u1->g1:x=[4 , 14 , -4 ] +r * [2 , -3 , 0 ]

u2->g2: x=[11 , 9 , -14 ]+s*(-2 , -3 , 2]

Länge von P0P1=361 m → v=361 m / 1 min= 361m/min

Länge von Q0Q1=412m----->v=412m /1min=412m/min

U1 und U2 sind dann parallel, wenn ihre Richtungvektoren kollinear sind. Die Richtngsvektoren sind nicht kollinear.

Die andere Teilaufgabe kann ich irgendwie nicht lösen....

b)

Die Entfernung beträgt 5000 m.

Der Abstand beträgt 2195 m.

Den Winkel habe ich nicht berechnet.

Wir hatten das Thema Vektoren und Geraden, deshalb weiß ich nicht, ob man das mit den Winkeln später noch hat.

Bin ich trotzdem in der Lage c) und d) zu lösen?

Answer 1

a)

Abstand windschiefer Geraden.

b)

α = ASIN([-2, -3, 2]·[0, 0, 1] / (|[-2, -3, 2]|·|[0, 0, 1]|)) = 29.02°

c)

Hier ist das nur der Allgemeiner Abstand zweier Punkte.

d)

Das einfachste wäre über das Skalarprodukt. Ich vermute das hattet ihr noch nicht. Das kommt zumindest in meinem Buch hinter deinen Übungsaufgaben.

Comments

a) Die sind doch gar nicht parallel....

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Sorry.

a) Abstand windschiefer Geraden.

N = [2, -3, 0] ⨯ [-2, -3, 2] = [-6, -4, -12]

d = ([4, 14, -4] - [11, 9, -14])·[-6, -4, -12] / |[-6, -4, -12]| = -7

Damit haben die beiden Geraden einen Abstand von 700 m. Die U-Boote könnten sich daher nur auf maximal 700 m nähern.

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a) Abstand windschiefer Geraden

Das hatten wir noch nicht... Einen anderen Weg geht wahrscheinlich nicht oder?

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Ich habe eine Frage zu b)...

Ich weiß, dass man folgendes rechnet:

[11, 9, -14] + r·[-2, -3, 2] = [x, y, 0] --> x = -3 ∧ y = -12 ∧ r = 7

[x, y , 0] = [11 , 9 , -14] +s*[-2  , -3 , 2]

Der Punkt den man herausbekommt? Was ist das denn für ein Punkt im Bezug auf die Aufgabe...

Ist es der Punkt wo U2 die Meeresoberfläche erreicht?

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Es gibt da etliche Möglichkeiten den kleinsten Abstand zu bestimmen. Ich habe den für mich einfachsten gewählt :)

Man kann es auch über die Analysis als Extremwertaufgabe machen. Das Problem du hast zwei Parameter.

Du kannst das auch über das Lotfußpunktferfahren machen. Aber auch das werdet ihr noch nicht gehabt haben.

Ja genau. Am Punkt [-3, -12, 0] erreicht U2 die Meeresoberfläche.

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Vielen Dank

Wenn ich rechne:

[4 ,14 , -4 ] +7*[2, -3 , 0] =[18 , -7 ,-4]
Hier berechne ich doch wo sich das U Boot 1 befndet, während U2 an der Oberfläche ist...

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Ja genau. Du hast doch auch die Abstände richtig die berechnet werden sollten.

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Vielen Dank                

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Zu c) kann man sagen, dass S (4+2r I 14-3r I -4) ist, obwohl ich nur den Stützvektor von u1 genommen haben. Kann man das irgendwie noch begründen?

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Oh da fehlt noch ein wenig. Aber der Ansatz stimmt.

c)

|([4, 14, -4] + r * [2, -3, 0]) - [18, 6, 7]| = √(13·r^2 - 104·r + 381)

√(13·r^2 - 104·r + 381) = 15 --> r = 2 ∨ r = 6

[4, 14, -4] + 2 * [2, -3, 0] = [8, 8, -4]

[4, 14, -4] + 6 * [2, -3, 0] = [16, -4, -4]

Zeitfenster 6 - 2 = 4 Minuten

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Wie kommst du auf?

|([4, 14, -4] + r * [2, -3, 0]) - [18, 6, 7]| = √(13·r² - 104·r + 381)

bzw.
Wie löst du das hier genau:
|([4, 14, -4] + r * [2, -3, 0]) - [18, 6, 7]|

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"|([4, 14, -4] + r * [2, -3, 0]) - [18, 6, 7]|"

Fass mal selber soweit wie möglich zusammen.

Ich denke das schaffst du wenn du dir Mühe gibst.

[4, 14, -4] + r * [2, -3, 0]) - [18, 6, 7] = [2·r - 14, 8 - 3·r, -11]

Wie ist da jetzt der Betrag definiert?

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Vielen Dank       

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Kann man sagen zwischen 12:23 Uhr - 12: 27 Uhr?

Oder was zeigt die 4 an?

Zeitfenster 6 - 2 = 4 Minuten

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Ja. 12:23 bis 12:27 ist korrekt.

Ist sogar schöner wenn nach dem Zeitfenster gefragt ist.

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Vielen Dank         

Answer 2

Du hast die Bewegung von U2. Berechne, wo U2 die Oberfläche erreicht, d.h. die z-Koord. 0 ist.

Die Meeresoberfläche ist die x-y-Ebene. Nimm den Richtungsvektor von U2 und berechne den Winkel dazwischen.

Wenn Du den Auftauchpunkt kennst, kennst Du auch die Zeit dafür. Berechne für diese Zeit die Bewegung und die Position von U1, dann kannst Du den Abstand berechnen.

Grüße,

M.B.

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Vielen Dank