Rechenregel für Summen und Frage nach Negation

Question

Hi

ich soll vor die Vorlesung Beispiele rechnen, die ich echt schnell machen muss. Deswegen habe ein Paar Fragen:

1. Wie löst man das? Welche Regeln benutz man dabei?

2. Man muss die Negation möglichst einfach ausdrücken. Aber ich verstehe nicht wie kann man das sogar "ausdrücken"

A⇒¬B

Comments

Bittte nur eine  Frage pro Frage. 1. und 2. haben nichts miteinander zu tun.

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Soll ich noch einmal die Fragen getrennt stellen?

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Ist wohl nicht nötig, war eher ein Hinweis für die Zukunft.

Die Negation ¬B kann man nicht einfacher ausdrücken.

Das A⇒ am Anfang macht daraus aber eine Implikation, und die kann umgeformt werden zu ¬A ∨ ¬B, was zu ¬(A∧B) umgeformt werden kann.

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Es langt wenn du die 2. Frage nochmals online stellst.

Answer 1

Σ (n = 4 bis 9) (3n + 2) = Σ (n = 0 bis 5) (3(n + 4) + 2) = Σ (n = 0 bis 5) (3n + 14)

Σ (k = 0 bis 6) (k) = Σ (g = 0 bis 3) (2g) + Σ (u = 0 bis 2) (2u + 1)

Σ (p = 1 bis m) (n + 1 über p) = (n + 1 über m) + Σ (r = 0 bis m - 2) (n + 1 über r + 1)

Answer 2

> 1. Wie löst man das?

Indem man nach Regeln sucht. Hilfreich dabei ist oft, alles was abstrakt ist zu konkretisieren. Zum Beispiel ist

    ∑_{n=4 .. 9} (3n+2) = (3·4+2) + (3·5+2) + (3·6+2) + (3·7+2) + (3·8+2) + (3·9+2)

                = 14 + 17 + 20 + 23 + 26 + 29

                = (a·0 + b) + (a·1 + b) + (a·2 + b) + (a·3 + b) + (a·4 + b)

Die obere Grenze der Summe ist also 4. Was wird wohl a und b sein?

Comments

a kann hier als 3 sein und b als 14

aber ich versehe nicht warum wir das machen dürfen?

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Wir dürfen das machen, weil  ∑_{n=4 .. 9} (3n+2) = ∑_{k=0 .. 4} (3k+14) ist.

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Wie hast du verstanden, dass man das genau 5 mal machen muss? Da 9-4=5?

Ich habe das ganze Algorithmus nicht verstanden.

Erst schreiben wir alle Summanden der linken Seite.

Dann warum machst du das?

(a·0 + b) + (a·1 + b) + (a·2 + b) + (a·3 + b) + (a·4 + b)

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> dass man das genau 5 mal machen muss

Weil 9-4 = 5 ist.

> (a·0 + b)

a und b stehen für das, was auf er rechten Seite in die Kästchen kommt.

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Gut, ich habe einigermaßen verstanden wie das funktioniert in a) und b)

Aber wie das geht in C)?

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Schau mal welche Rechenregeln über Binomialkoeffizienten besprochen wurden.

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nur (n über k)+(n über k+1)=(n+1 über k+1)

Aber jetzt sehe ich nicht wie das verwenden kann

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Das mit den Rechenregeln war nur eine Vermutung von mir.

Wenn du auf beiden Seiten der Gleichung \( \begin{pmatrix}n+1\\m\end{pmatrix} \) subtrahierst, dann bekommst du $$\sum_{p=1}^{m-1}\begin{pmatrix}n+1\\p\end{pmatrix} = \sum_{r=0}^{\square}\begin{pmatrix}n+1\\r+\square\end{pmatrix}$$

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Na gut, jetzt sieht man warum auf der rechte Seite steht ∑(r=0 bis m-2), aber warum (n+1 über r+1)?

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Der erste Summand auf der linken Seite ist \(\begin{pmatrix}n+1\\1\end{pmatrix}\). Der erste Summand auf der rechten Seite sollte ebenfalls \(\begin{pmatrix}n+1\\1\end{pmatrix}\) sein.

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Dummkopf, na ja alles stimmt.