> Ich verstehe zwar nicht warum
Was verstehst du daran nicht?
- Warum es erlaubt ist? Es ist einfache Integralrechung
- Warum es sinnvoll ist? Das wird sich später herausstellen.
> Im nächsten Schritt wurde das Summenzeichen einfach nur mit den Integralzeichen vertauscht oder?
Ja; wobei ich das Wort "einfach" allerdings streichen würde. Es ist ganz und gar nicht einfach, was da passiert, deshalb wohl auch das Ausrufezeichen. Im einzelnen ist die Argumentation folgende:
∑m=0..∞ rm ist der Grenzwert einer Folge von Funktionen (nähmlich der Folge der Partialsummen). Der Grenzwert existiert, weil nur das Intervall [0; 2/5] betrachtet wird.
∑m=0..∞ rm ist eine spezielle Potenzreihe. Potenzreihen, die auf einem abgeschlossenen Intervall konvergieren, konvergieren dort gleichmäßig.
Konvergiert eine Folge von integrierbaren Funktionen gleichmäßig, dann ist der Grenzwert integrierbar. Außerdem darf dann Integration und Grenzwertbildung vertauscht werden.