Aloha :)$$f(x)=\sum\limits_{k=1}^\infty a_k\cdot(x+3)^k\quad;\quad a_k=\frac{k^4}{3^k}$$Der Konvergenzradius der Potenzreihe ist:
$$r=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|=\lim\limits_{k\to\infty}\left(\frac{k^4}{3^k}\cdot\frac{3^{k+1}}{(k+1)^4}\right)=\lim\limits_{k\to\infty}\left(\frac{k^4}{(k+1)^4}\cdot\frac{3^{k+1}}{3^k}\right)$$$$\phantom{r}=3\lim\limits_{k\to\infty}\left(\frac{k}{k+1}\right)^4=3\lim\limits_{k\to\infty}\left(\frac{(k+1)-1}{k+1}\right)^4=3\lim\limits_{k\to\infty}\left(1-\frac{1}{k+1}\right)^4=3$$
Die Potenzreihe \(f(x)\) konvergiert also sicher für$$\left|x+3\right|<3\implies -3<x+3<3\implies-6<x<0\implies\underline{\underline{x\in(-6;0)}}$$
Auf Wunsch des Aufgabenstellers soll auch das Verhalten an den Randbereichen des Konvergenzbereichs untersucht werden.
$$f(0)=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{k^4}{3^k}\cdot(0+3)^k=\sum\limits_{k=1}^\infty k^4>\sum\limits_{k=1}^\infty1\to\infty$$$$f(-6)=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{k^4}{3^k}\cdot(-6+3)^k=\sum\limits_{k=1}^\infty(-1)^kk^4\to\infty\quad\text{weil \((k^4)\) keine Nullfolge ist}$$
