Unendliche Reihen/ Potenzreihe

Question

ich brauch mal wieder eure Hilfe :(

Leider kann ich nur den Anfang der Lösung nachvollziehen... ab den Teil -> Wir betrachten nun: kann ich nicht nachvollziehen wie man auf r^m  kommt.

Vielen Dank schon mal die sich die Zeit nehmen :)!m

Answer 1

> wie man auf r^m  kommt

Magie.

Andere Frage: Warum darf man x^m+1/(m+1) ersetzen durch ∫_0..x r^m dr?

Antwort: weil ∫_0..x r^m dr = x^m+1/(m+1) ist.

Comments

Die Lösung ist von meinen Mathe Prof.

Also wurde x^m+1/(m+s) einfach Substituiert mit r^m oder verstehe ich das falsch?

Gerne darf mir auch ein anderer Lösungsweg präsentiert werden :)!

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x^m+1/(m+1) wurde ersetzt durch ∫_0..x r^m dr, nicht durch r^m.

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Ok dankeschön:)!

Ich verstehe zwar nicht warum, aber es ist wohl immer das gleiche Schema.

Im nächsten Schritt wurde das Summenzeichen einfach nur mit den Integralzeichen vertauscht oder? Danach steht die Summenformel für die unendliche geom. Reihe , aber woher kommt der ln her? Stammfunktion?

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 ∫_0..x r^m dr  = 1/(m+1) r^{m+1}  |_(0)^x = 1/(m+1) x ^{m+1} - 1/(m+1) * 0^{m+1} = 1/(m+1) x^{m+1} 

Und ja. Das ist immer das gleiche Schema. 

"Im nächsten Schritt wurde das Summenzeichen einfach nur mit den Integralzeichen vertauscht oder?"

Ja. Ihr solltet ein paar Regeln kennen, die angeben, dass und wann man das darf. 

 "Danach steht die Summenformel für die unendliche geom. Reihe ,"

richtig.

" aber woher kommt der ln her? Stammfunktion?"

Richtig. Substituiere ausführlich 1-r = u, damit du keinen Vorzeichenfehler machst, wenn du das mal selbst rechnen musst. 

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> Ich verstehe zwar nicht warum

Was verstehst du daran nicht?

• Warum es erlaubt ist? Es ist einfache Integralrechung
  
• Warum es sinnvoll ist? Das wird sich später herausstellen.

> Im nächsten Schritt wurde das Summenzeichen einfach nur mit den Integralzeichen vertauscht oder?

Ja; wobei ich das Wort "einfach" allerdings streichen würde. Es ist ganz und gar nicht einfach, was da passiert, deshalb wohl auch das Ausrufezeichen. Im einzelnen ist die Argumentation folgende:

∑_m=0..∞ r^m ist der Grenzwert einer Folge von Funktionen (nähmlich der Folge der Partialsummen). Der Grenzwert existiert, weil nur das Intervall [0; 2/5] betrachtet wird.

∑_m=0..∞ r^m ist eine spezielle Potenzreihe. Potenzreihen, die auf einem abgeschlossenen Intervall konvergieren, konvergieren dort gleichmäßig.

Konvergiert eine Folge von integrierbaren Funktionen gleichmäßig, dann ist der Grenzwert integrierbar. Außerdem darf dann Integration und Grenzwertbildung vertauscht werden.

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Erstmals vielen Dank an euch beiden für die aufgebrauchte Zeit und die ausführlichen Antworten. 
> Ich verstehe zwar nicht warumDamit meinte wenn ich die Aufgabe komplett selber Lösen würde, dann wäre ich nicht auf diesen Schritt gekommen! Aber schön langsam (Dank euch) ergibt es mir schon mehr Sinn. Man benutzt die Substitution mit r^m  , damit man die geometrische Summenformel angewendet werden  kann [deswegen auch "vertauschen" von Integral und Summenzeichen], soweit ich es jetzt verstanden habe.Ok bei der Stammfunktion hab ich mir von den dr irritieren lassen, aber dies ist ja nur die "normale Schreibweise" und wurde in den Zähler hochgezogen[1/(1-r)]dr. Noch eine kleine Frage müsste die Stammfunktion dann nicht -ln(1-r) + C heißen??? Stammfunktionen bilden ist aber auch eine große Herausforderung für mich.PS: ich kenne wohl viele Rechenregeln nicht weil unser Prof wegen Krankheit selten da war und wir uns selbst vorbereiten mussten. 

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" müsste die Stammfunktion dann nicht -ln(1-r) + C heißen? "

Bei bestimmten Integralen kannst du + C weglassen, denn sobald man die Grenzen einsetzt, rechnet man dann + C .... - C und das C ist wieder weg.

Ausserdem solltest du nicht von "die" Stammfunktion sprechen. F(r) = -ln(1-r) ist eine Stammfunktion von f und mit dem + C hast du gleich "alle" Stammfunktionen von f.

Zudem: Wenn du in so was geprüft wirst, solltest du jetzt dieses Blatt weglegen und die ganze Rechnung im Kopf hinschreiben. Wenn du 2 Seiten brauchst, mit allen Rechnungen, ist das auch ok. Nur so bekommst du eine gewisse Sicherheit.

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Oh ja stimmt soweit hab ich wieder nicht gedacht sry.

Ja da hast du Recht Übung macht den Meister. Nochmals vielen Dank :)

Ich dachte erste die Aufgabe werde ich niemals verstehen :D