Quadergitter aus Würfelchen: Formeln für u.a. Augen auf Aussenflächen aufstellen

Question

Das Kantengerüst eines Quaders ist aus kleinen Würfeln zusammengeklebt.

a) Wie viele Würfel braucht man für seine Herstellung?
Die Lösung ist allgemein in Abhängigkeit von der Breite, Tiefe und Höhe anzugeben.

Nun soll so ein Würfel aus Spielwürfeln zusammengeklebt werden und zwar so, dass die Seite mit der Augenzahl 1 stets nach vorn, diejenige mit der Augenzahl 2 stets nach rechts und die Seite mit der Augenzahl 3 stets nach oben schaut.

b) Gib einen Term für die Gesamtsumme der sichtbaren Augenzahlen in Abhängigkeit von der Breite, Tiefe und Höhe an. 

c) Stelle einen Term mittels Breite, Tiefe und Höhe auf, der die Anzahl der sichtbaren Flächen angibt, die jeweils die Augenzahl 1, die Augenzahl 2, die Augenzahl 3, die Augenzahl 4, die Augenzahl 5, die Augenzahl 6 tragen.

(Die Flächen, auf denen der Körper steht, sollen mitgezählt werden, denn sie sind ebenfalls sichtbar, wenn man ihn hochhebt.)

Answer 1

a) Wie viele Würfel braucht man für seine Herstellung?

Die Lösung ist allgemein in Abhängigkeit von der Breite, Tiefe und Höhe anzugeben.

4 + 4·(b - 2) + 4·(h - 2) + 4·(t - 2) = 4·(b + h + t - 5)

b sei mal die Anzahl der Würfel in der Breite etc.

Comments

b) Gib einen Term für die Gesamtsumme der sichtbaren Augenzahlen in Abhängigkeit von der Breite, Tiefe und Höhe an.

Ich frage mich mal von wie vielen Würfeln ich die Oberseite sehen kann. Sicher vom oberen Ring

4 + 2·(b - 2) + 2·(t - 2)

Vom unteren Ring nur die 4 Ecken nicht. Also habe ich gesamt

4 + 2·(b - 2) + 2·(t - 2) + 2·(b - 2) + 2·(t - 2) = 4·(b + t - 3)

Die gleiche Anzahl gilt auch für die unterseiten mit der Augensumme 6. D.h. die gesamte Augensumme der ober und unterseiten lässt sich schreiben als

7·4·(b + t - 3) = 28·(b + t - 3)

Ähnliches gilt für rechte und linke Seien und vorder und Hinterseiten. sodass wir auf den Term kommen

28·(b + t - 3) + 28·(b + h - 3) + 28·(h + t - 3) = 28·(2·b + 2·h + 2·t - 9)

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c) ist eigentlich ja schon in b) enthalten. müsste nur noch mal extra notiert werden. Das wäre dann Aufgabe des Fragestellers. Ebenso sollte der Fragesteller alle meine Rechnungen auf Fehler überprüfen. Das mache ich grundsätzlich nicht.