Beweise mit vollständiger Induktion, dass n² >= 2n + 3 , für alle n >= 3

Question

Beweisen mit vollständiger Induktion, dass

Meine Antwort ist:
Was ist falsch daran  und kann man dass so aufschachteln? lg, danke : ))

 

Answer 1

Hallo gggirl,

In der 5. zeile muss natürlich  9 ≥ 9 stehen.

Bei IS bist du in der Zeile   n² ≥ 4  eigentlich fast fertig:

(n+1)² ≥ 2*(n+1) + 3 ⇔  ....  ⇔ n² ≥ 4 ⇔ n ≥ 2

Der IS funktioniert also für n ≥2 "von allein" (ohne IV)  und nach Voraussetzung ist  n ≥ 3

Die Voraussetzung n≥3 brauchst du nur bei IA.

Dass der IS hier ohne die Induktionsvoraussetzung funktioniert, liegt daran, dass man die Ausgangsungleichung ( = IV für ein n) hier für n ≥ 3  in gleicher Weise auch direkt beweisen kann:

n² ≥ 2n + 3    | - 2n | +1

⇔ n² - 2n + 1 ≥ 4

⇔ (n-1)² ≥ 4

⇔_n≥3  n-1≥ 2

⇔  n ≥ 3

Gruß Wolfgang

Answer 2

Behauptung:$$n^2 \ge 2n+3$$
Beginn:$$3^2 \ge 2\cdot 3+3$$
Schluss:$$(n+1)^2 \ge 2(n+1)+3$$
$$n^2+2n +1 \ge 2n+2+3$$
$$n^2 +1 \ge +2+3$$
$$n^2  \ge +4$$
$$n  \ge 2$$
Da n aber nun mindestens 3 ist, ist es auf jeden Fall größergleich 2. Somit ist die Annahme zutreffend.