Tangentialvektor berechnen

Question

Ich hab zwar eine ähnliche Frage zwar schon mal gestellt aber irgendwie komm ich wieder nicht weiter!Ich möchte den Tangentialvektor der geschlossenen Kurve f(x,y)= 1-x^2-y^2-x^2y^2 = 0 an der Stelle (1,0,0) berechnen.Ich hab also Impliziert differenziert und komme auf das Ergebnis (-2x-2xy^2)/(-2y-2x^2y) =f'(x,y) Wenn ich jetzt aber den Punkt einsetzen möchte hab ich im Nenner 0 was ziemlich blöd wäre.Wo liegt also mein Fehler? Danke schon mal für die Hilfe!

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 EDIT: Hallo. Ohne, dass ich jetzt nachgerechnet hätte: Wolltest du schreiben: "Kurve f(x,y)= 1-x²-y²-x² y^2 = 0 an der Stelle (1,0,0) berechnen. Ich hab also Implizit differenziert und komme auf das Ergebnis (-2x-2xy²)/(-2y-2x² y) =f'(x,y) " ? 

Answer 1

die Gleichung lautet vermutlich

1-x^2-y^2-x^2 y^2=0

Die implizite Ableitung f'(x)=y' hast richtig berechnet. Die Ableitung für (x,y)=(1,0) nicht.

Du kannst aber auch die Ableitung g'(y)=x'=-F_y(x,y)/F_x(x,y) bestimmen.

g'(y)=-(y+x^2 y)/(x+xy^2)=0

dx/dy=0

Das ist eine parallele zur y-Achse durch (1,0)

Die Tangentengleichung lautet also x=1

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Es nur keine Tangente gesucht, sondern der Tangentialvektor.

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Dann nehme man v=(1,0,0)*r

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Danke für das korrigieren Lu. Für g(x,y) ist mir klar das g'(x,y) = 0 ist aber das müsste es doch auch für f'(x,y) sein.

Ich kann dann also die Tangentengleichung mit t(x)=f'(x)(x-a)+a aufstellen. Ich hab den Punkt (1/0) gegeben. Wie kommst du nun auf x. Wenn ich einfach einsetzt komme ich auf t(x)=(1/0). Liest du jetzt einfach ab das x=1 und y=0 gilt?

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Ich meinte v=r*(0,1,0)

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Also man muss ja zuerst mal bei der Aufgabe den Satt über implizite Funktionen zu rate ziehen. Weil dF/dy=0 im Punkt (1,0), gibt es  in diesem Punkt lokal keine Funktion y=f(x). Das spiegelt sich auch in der Tatsache , dass f'(x) in (1,0) nicht existiert. Somit kannst du deine Gleichung t(x)=... nicht nutzen.

Es gibt aber eine Funktion g(y)=x.

Also kann man eine Tangentengleichung

x=ay+b aufstellen ,wobei a=0 oben schon berechnet wurde (Ableitung)

Das b kann man nun einfach ablesen, da die Tangente durch (1,0) gehen soll. Also b=1

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Ich versteh deinen Ansatz nicht ganz wie ich so auf den Vektor komme. Was ist bei dir a und b? Bei meiner Tangentengleichung war a die Stelle. Wenn a= 0 ist nimmst du da offensichtlich den y Wert aber warum?

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OK ich nehme mal deinen Ansatz :

Tangentengleichung:

x(y)=t(y)=g'(a)*(y-a)+g(a)

a=0 ist der y-Wert des Punktes (1,0)

g'(0)=0 oben berechnet

---> t(y)=g(0)

Die Tangente soll durch den Punkt (x=1,y=0)

verlaufen. ---> t(0)=1=g(0)

---> t(y)=1

Ein Tangentialvektor  ist dann v=(0,1,0)

Answer 2

$$  f(x,y)= 1-x^2-y^2-x^2  y^2 $$
$$  z= 1-x^2-y^2-x^2  y^2 $$
$$  0=-z+ 1-x^2-y^2-x^2  y^2 $$
$$  \frac{d\, f}{dx}= -2x(1-  y^2) $$
$$  \frac{d\, f}{dy}= -2y(1-  x^2) $$
$$  \frac{d\, f}{dz}= -1 $$
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$$  \frac{d\, f}{dx}(1,0,0)= -2\cdot 1(1-  0^2) $$
$$  \frac{d\, f}{dy}(1,0,0)= -2\cdot 0(1-  1^2) $$
$$  \frac{d\, f}{dz}(1,0,0)= -1 $$

Der Vektor auf der Tangentialebene durch den Punkt (1,0,0) lautet:

$$\vec V_T(1,0,0)=\begin{pmatrix} -2\\0\\-1 \end{pmatrix}$$

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Ist das nicht einfach der Gradient den du berechnet hast an der Stelle? Das wäre dem zufolge aber nicht das selbe wie der Tangentialvektor oder?

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Ich habe die Aufgabenstellung leider falsch interpretiert - dank der zweifelsfreien Darstellung mit den hilfreichen Foreneingabehilfen im Posting ...

Die Aufgabe scheint sich ja nicht im 3D abzuspielen, wenn ich das so nachvollziehen kann.

Daher muss für meine Antwort erst die passende Aufgabe gefunden werden ...

Andererseits ist der Weg - reduziert um die überzählige Dimension - der richtige, um zu dem gesuchten Vektor zu gelangen.

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Weiterhin habe ich übersehen, dass hier die Funktion der Tangente in vektorieller Darstellung gesucht wird und nicht, wie ich fälschlicherweise vermutete,  der Orthogonalvektor auf der Tangente - das wäre in der Tat der Gradient.