Ich habe eine frage zu beispiel vier... ich versteh nicht wie ich da die summe berechnen soll... und was soll ich hier beweisen, ich habe ja keine behauptung...
∑k=1 bis n (k3-2k+1)
= ∑k=1 bis n (k3)-2*∑k=1 bis n (k) +∑k=1 bis n (1)
=(n*(n+1)/2)2-n*(n+1)+n
Die erste Summe wird mit Aufgabe 3a) gelöst.
Die zweite Summe habt ihr sicherlich in der Vorlesung gehabt (Gauß Summenformel). Die dritte Summe ist klar.
∑k=1n(k3−2k+1) \sum_{k=1}^{n}{(k^3-2k+1)}k=1∑n(k3−2k+1)=∑k=1nk3−2∗∑k=1nk+∑k=1n1 = \sum_{k=1}^{n}{k^3}-2* \sum_{k=1}^{n}{k}+ \sum_{k=1}^{n}{1}=k=1∑nk3−2∗k=1∑nk+k=1∑n1=(n(n+1)2)2−2n(n+1)2+n = {(\frac { n(n+1) }{ 2 })}^2 -2\frac { n(n+1) }{ 2 }+n =(2n(n+1))2−22n(n+1)+n=(n(n+1)2)2−n(n+1)+n = {(\frac { n(n+1) }{ 2 })}^2 - n(n+1)+n =(2n(n+1))2−n(n+1)+n=n4+2n3−3n24 = \frac { n^4 + 2n^3 -3n^2 }{ 4 }=4n4+2n3−3n2Das Ergebnis soll dann wohl noch per Induktion bewiesen werden.
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