Sind die 2 Aussagen mit Allquantoren und Summen wahr?

Question

Hallo bei der Aufgabe soll man angeben ob die Aussagen wahr und dann beweisen oder durch ein Gegenbeispiel widerlegen .

(EDIT: widerlegen korrigiert)

soweit ich mich mit der Summe nicht vertan habe , habe ich folgendes herausgefunden :

αi1ξ1 +αi2ξ2 =βi

 für i=1 => α11ξ1 +α12ξ2 =β1

für i=2 => α21ξ1 +α22ξ2 =β2

soweit ich das sehe bilden β1 und β2 einen vektor der sich aus :

(β1 ,β2)= α11 α12 * (ξ1,ξ2)         (β1 ,β2),(ξ1,ξ2) sollen 2 spaltenvektoren sein und  α11 bis α22 eine 2x2 Matrix .

                α21 α22

ich verstehe das nicht so ganz mit den Quantoren was das für eine Auswirkung hat, wenn man die Reihenfolge ändert bzw. von einem Allquantor zu einem Existenzquantor wechselt . Sodass ich jetzt sagen kann welche Aussage ist falsch bzw. wahr ?

Und wie könnte ich das beweisen? Danke !

  

Comments

durch ein Gegenbeispiel widerlegen.

Es muss "widerlegen" heißen. Achte bitte darauf, schließlich lesen hier auch Kinder mit!

Answer 1

> ich verstehe das nicht so ganz mit den Quantoren was das für eine Auswirkung hat,

a) Egal wie du die alphas und die Betas wählst, u kannst immer geeignete xis finden.

b) Es gibt betas, so dass du zu jeder Kombination von alphas geeignet xis finden kannst.

Tipp: eine der Aussagen ist wahr, die andere ist falsch.

Comments

Hallo und danke erstmals !

a) Egal wie du die alphas und die Betas wählst, du kannst immer geeignete xis finden.

 für die gleichung : αi1ξ1 +αi2ξ2 =βi fordert man nicht das dies für alle xis gelten muss , es ist der  fall  xi1=xi2=0 und b1=1  dann 0=1 . aber dafür für alle alpha und beta .

falls ich dann aber αi1=αi2 =0 und βi ≠0 betrachte kann ich leider kein ξ1 bzw. ξ2 finden sodass sich diese Gleichung erfüllen lässt denn alles mal null ist null.
Daher würde ich sagen diese Aussage ist falsch.

b)Es gibt betas, so dass du zu jeder Kombination von alphas geeignete  xis finden kannst.

Ich würde sagen das diese Aussage richtig ist , da für die gleichung : αi1ξ1 +αi2ξ2 =βi der Fall der bei a) nicht funktionierte da dies für alle βi gelten hat müssen und nun den Fall auschließen kanndurch den Existenzquantor .

Jedoch wie zeigt man dass dan?

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> falls ich dann aber αi1=αi2 =0 und βi ≠0 betrachte kann ich leider kein ξ1 bzw. ξ2 finden

Damit ist a) widerlegt

Für b) Wähle zwei Betas, gib eine Formel an, um aus den alphas und den betas die xis zu berechnen.

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bei b) habe ich mal folgendes aufgestellt :
soweit ich das sehe bilden ξ1,ξ2 einen vektor der sich aus :

(β1 ,β2)= α11 α12 * (ξ1,ξ2)        

                α21 α22

 ergeben kann, wobei hier dann (ξ1,ξ2) den Vektor mit den variablen darstellen soll in einem linearen Gleichungssytem.

Wenn ich dieses Gleichungssytem löse komme ich auf folgendes :

ξ1=(β1*α22  -β2α12)/ ( α22*α11- α12 α21)= Det(ξ1)/Det(A)

ξ2=(β2*α11  -β1α21)/ ( α22*α11- α12 α21)=Det(ξ2)/Det(A)

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Dein Gleichungssystem ist richtig.

Deine Lösung hat abgesehen von Vorzeichenfehlern ein Problem: es könnte Det(A)=0 sein. Das ist deshalb ein Problem, weil ja für jedes A geeignete ξ₁ und ξ₂ existieren sollen.

Du hast meinen Tipp nicht beachtet, d.h. du hast dem β₁ und dem β₂ keine konkreten Werte gegeben.

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Ah stimmt die Determinante kann ja 0 werden ganz vergessen .

Okay wenn sich die betas nur im Zähler befinden und man diese 0 wählt  ( wäre ein homogenes Gleichungssystem ) dann ergibt sich für den Fall das die Determinante von A 0 ist sowas wie 0/ 0.

Und wenn die betas ungleich 0 und Zb 1 sind kann man da vl noch was kürzen oder so .

Welche Werte soll  ich für die betas wählen ?

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> dann ergibt sich für den Fall das die Determinante von A 0 ist sowas wie 0/ 0

was aber völlig belanglos ist, weil die Voraussetzungen der cramerschen Regel nicht erfüllt sind.

> Welche Werte soll  ich für die betas wählen ?

Solche, dass das entstandene Glechungssystem für jedes A lösbar ist.

BTW: was weißt du über die Lösbarkeit von homogenen linearen Gleichungssystemen?

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Genaueres haben wir noch nicht besprochen zur Lösbarkeit von Linearen homogenen GLG-Systemen.
ich habe gerade gelesen es gibt die  Möglichkeiten:

1)
Ein homogenes lineares Gleichungssystem ist stets lösbar. Es besitzt immer den Nullvektor als Lösung (trivialen Lösung).
Der Nullvektor ist genau dann die einzige Lösung, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix gleich der Anzahl der Variablen ist.
2)
Das homogene lineare Gleichungssystem besitzt genau dann unendlich viele Lösungen, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix kleiner als die Anzahl der Variablen ist.

Du hast mich gefragt :

>" Welche Werte soll  ich für die betas wählen ?

Solche, dass das entstandene Glechungssystem für jedes A lösbar ist."

ich würde nun sagen β1=β2=0 dann gilt der erste Satz !

Ob dieser Vektor (β1,β2) die einzige Lösung ist , ist nicht wichtig denn es muss sich zumindest ein vektor finden lassen oder auch mehrere .

Das bringt mich zur Frage :

ξ1=(β1*α22  -β2α12)/ ( α22*α11- α12 α21)= Det(ξ1)/Det(A)

ξ2=(β2*α11  -β1α21)/ ( α22*α11- α12 α21)=Det(ξ2)/Det(A)

für meine gleichungen wird dann der Zähler 0 , aber wie Handhabe ich dann den Fall Nenner 0 ?

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> ich würde nun sagen β1=β2=0 dann gilt der erste Satz !

Richtig.

> Ob dieser Vektor (β1,β2) die einzige Lösung ist , ist nicht wichtig

Nun ja, die Lösung des linearen Gleichungssystems A · (ξ₁, ξ₂) = (β₁, β₂) sind die Werte, die du für (ξ₁, ξ₂) einsetzen kannst, aber

• durch Wahl von β₁=β₂=0 entsteht ein homogehenes lineares Glechungssystem,
• homogene lineare Gleichungssysteme sind immer lösbar, nämlich durch (ξ₁, ξ₂) = (0, 0).

> wie Handhabe ich dann den Fall Nenner 0

Was du da gemacht hast ist die cramersche Regel. Die cramersche Regel sagt:

        Wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich null ist,
        dann kann die Lösung berechnet werden durch ...

Die cramersche Regel sagt nichts darüber aus, wie die Lösung eines linearen Gleichungssystems aussieht, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix Null ist. Aber du hast ja bereits auf anderem Weg herausgefunden, dass bei Wahl von (β₁, β₂) = (0, 0) die Lösung (ξ₁, ξ₂) = (0, 0) existiert. Das reicht.

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Vielen Dank für deine Hilfe , hhab mir echt Geholfen!!