Gruppe endlich. Beweisen Sie mit Lagrange dass G ein Element der Ordnung 2 hat, wenn |G| gerade ist.

Question

Sei G eine endliche Gruppe. Die Ordnung eines Elements g ist die kleinste Zahl n > 0 mit gⁿ = 1. (

(EDIT ( a) beweisen sie dass die Anzahl der Elemente x mit x ungleich x^-1 gerade ist )) ist schon erledigt. 

 (b) Beweisen Sie (mit Lagrange aber ohne Sylow!), dass G ein Element der Ordnung 2 hat, dann und nur dann, wenn |G| gerade ist. 

ich habe bisher aufgeschrieben 
Nach Lagrange gilt |G| =[G:H]*[H]

Aber weiter habe ich jetzt keine Ahnung

Kann mir jemand bitte helfen??

Comments

Mal vorsichtig nachgefragt: Die eine Richtung ist beinahe trivial. Kriegst Du wenigstens die zusammen?

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also ivh weiß was das ist ja

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Eine Richtung ist doch eigentlich hier gezeigt?

https://www.mathelounge.de/352549/zeige-g-2-e-fur-ein-g-aus-der-gruppe-g 

( ? )

Answer 1

Wenn \(g\) die Ordnung \(2\) hat, dann ist \(H=\{1,g\}\) eine Untergruppe.

Wennn es kein Element der Ordnung \(2\) gibt, ist mit Teilaufgabe (a) zu schliessen, dass \(|G|\) ungerade sein muss.