Komplexe Zahlen z^{-1} in der Gaußschen Zahlenebene einzeichnen.

Question

Gegeben sei z=2-i

Nun soll z^-1 in die Gaußsche Zahlenebene eingezeichnet werden.

Wie gehe ich vor?

Ist folgendes zulässig:

(2-i)^-1=1÷(2-i)

Wenn ja, wie gehe ich weiter vor? Mir ist bekannt wie man komplexe Zahlen einträgt, aber nicht wie es bei Brüchen geht...

Vielen Dank

Gruß

Comments

Welche geometrischen Eigenschaften der Multiplikation von komplexen Zahlen kennst du denn?

Answer 1

(2-i)^-1  =  \(\frac{1}{2-i}\) 

= \(\frac{2+i}{(2-i)·(2+i)}\)     Bruch mit 2+i  erweitert

= \(\frac{2+i}{4-i^2}\)              im Nenner 3. binomsche Formel angewendet

 = \(\frac{2+i}{4-(-1)}\)             i² = -1

= \(\frac{2+i}{5}\)

 = 2/5 + 1/5 · i

= x + y·i    mit  Realteil x = 2/5 und Imaginärteil  y = 1/5  

Diese Zahl wird in der Gaußschen Zahlenebene durch einen 

Pfeil  von (0|0) nach (2/5 | 1/5) dargestellt.

Gruß Wolfgang

Answer 2

Zeichne 

 z=2-i

ein.

Du siehst einen Winkel zwischen z und der reellen Achse (das Argument von z).

Der Betrag von z ist 

 |z|= √(4+1) = √5 

Bei einer Division werden die Argumente der beiden Zahlen voneinander subtrahiert und die Beträge durcheinander dividiert. 

z^{-1} = 1/(2-i)

arg(z^{-1}) =arg(1)  - arg(z) = 0 - arg(z) 

|z^{-1}| = 1/ |z| = 1/√5

Zeichne nun im Winkel -arg(z) einen Strahl in die Zahlenebene und trage auf diesem Strahl die Länge 1/√5 ≈  0.44721 Einheiten ab. Das gibt die gesuchte Zahl. 

Answer 3

Nun soll z^-1 in die Gaußsche Zahlenebene eingezeichnet werden.

Du erweiterst konjugiert komplex . Das Ergebnis kannst Du jetzt darstellen.