Zeige für die Menge M Folgendes:.... Es gilt (1) P#(v+w) = (P#v)#w. (2)...

Question

Hallo die Aufgabe lautet:

 für a habe ich versucht den Ansatz zu benutzen :

laut (2) gibt es einen Vektor v der  P nach Q  verschiebt , in diesem Fall soll v=0 sein .

also P=P+v . dann gilt wenn man P noch mal um v verschieben will

(p+v)+v = p+(v+v) wegen (1) und wegen vorhin ist p +v=p  .

wir wissen es gibt bei affinen Räumen nur einen Verbindunsvektor der einen Punkt P nach P verschieben soll . dh v+v=v also ist v=0 => p+0= p+v=p .

bei b habe ich noch nichts leider .

Answer 1

> wir wissen es gibt bei affinen Räumen nur einen Verbindunsvektor der einen Punkt P nach P verschieben soll

In der Aufgabenstellung ist aber nicht gefordert, dass es sich um einen affinen Raum handelt. Und in (2) steht ja explizit auch noch, dass der Verbindungsvektor nicht eindeutig sein muss.

Es sei P = P+v. Addiert man den Gegenvektor von v auf beiden Seiten, dann bekommt man

        P-v = (P+v)-v.

Wegen (1) und Neutralität der 0 bei Vektoraddition gilt dann auch

        P-v = P+0.

Addiert man nun v auf beidne Seiten, so bekommt man

        (P-v)+v = (P+0)+v,

was sich wegen (1) und Neutralität der 0 bei Vektoraddition zusammenfassen lässt zu

        P+0=P+v.

In dieser Gleichung kann man wegen der Voraussetzung P = P+v die rechte Seite durch P ersetzen und kommt so zu

        P+0=P.

Beachte, dass dadurch keineswegs v = 0 gezeigt wurde, sondern nur P = P+0.

Bonusfrage: Wo wurde (2) verwendet?

Comments

Addiert man den Gegenvektor von v auf beiden Seiten   und später
Addiert man nun v auf beidne Seiten

Warum addierst du nicht gleich o auf beiden Seiten und erhältst kürzer

P  =  P # v  =  P # (v + o)  =  (P # v) # o  =  P # o

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Ich hatte keine Zeit, diesen langen Beweis zu verkürzen.

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Hallo und danke euch 2 !  Die  Lösung von a) kann ich nachvollziehen !

@Oswald  : ( 2) bedeutet das es einen Vektor v gibt der den Punkt P nach Q verschiebt . Das heißt wenn ich eine Verschiebung von v anwende dann verrücke ich doch den Punkt P bzw. P+ v .

Du hast einmal - v und einmal vielen angewendet .

Habt ihr einen Ansatz wie b ) gehen könnte ?

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Ich habe den Beweis begonnen mit "Es sei P = P+v." Erst aufgrund von (2) existiert ein solches v überhaupt.

> Du hast einmal - v und einmal vielen angewendet .

Ich weiß nicht was du damit meinst.

> Habt ihr einen Ansatz wie b ) gehen könnte ?

Noch nichts konkretes. Ich würde aber in die Richtung "sei Q∈M beliebig und w∈ℝⁿ mit Q = P+w" gehen und schauen was sich daraus so ergibt. Das w existiert ürigens auch wegen (2).

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Hallo Oswald .

Ich meinte vorhin : " du hast einmal v und - v angewendet um p zu verschieben  und das v bzw. - v  existiert wegen ( 2) .

Und bei Bedarf habe ich folgendes :

Ich habe vorausgesetzt das P # u = P # v .

Durch  # - u auf beiden Seiten ergibt sich  ( p # u ) # - u = (P # v ) # - u und wegen ( 1 ) dann

P # ( u - u ) = P # ( v - u) und wegen a)  nun

P = P # ( v - u)

Wenn ich deinen Ansatz benutze dann

Q= P # w       durch # uauf beiden Seiten

Q # u =( P # w)# u

 wegen 1 dann   = P # ( u  + w )

Dann habe ich die Vorausetzung benutzt und P = P #( v - u )  ersetzt .

Also  Q # u = P # ( v - u ) # ( u + w )   wegen 1) dann

= P # ( v  - u + u +w) = P # ( v + w ) und wegen 1) wieder  (P # w ) # v  und weil  Q = P # w ist

Ergibt sich folglich Q # u =  Q # v

Vielleicht ein wenig umständlich gemacht aber ist das so richtig ?

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Und bei b ) meinte ich , mein Handyautokorrektur nimmt es  heute wohl genau ^^

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Dein Beweis für b) sieht richtig aus.