Gegeben ist die Funktionsschar fa(x)=a²*x*e^{-a*x}

Question

Gegeben ist die Funktionenschar fa(x)=a²  *x*e^-a*x  . Ihr Graph sei Ga.

1.Bestimmen sie die Koordinaten des Schnittpunktes von Ga mit der x-Achse und geben sie das Verhalten im Unendlichen an. G2 und G4 schneiden sich in den beiden Punkten P und Q . Bestimmen sie die Größe des Winkels, unter dem die Gerade g_PQ die positive x- Achse schneidet.

Comments

EDIT: ± Fortsetzung von Frage (vgl. folgende Diskussion)

Das Dreieck besteht aus einer Tangente im Koordinatenursprung an einer Funktionsschar (habe ich bereits ermittelt), eine Parallele zur y-Achse durch einen Punkt der Funktionsschar und der x-Achse

Ich soll a bestimmen für die Bedingung, dass das Dreieck gleichschenklig ist und zeigen das der Flächeninhalt unabhängig von a 1/2 ist

Ich weiss nicht wie ich beginnen soll außer die Tangente habe ich noch nichts weiter

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Vielleicht gibst du mal die komplette Aufgabe inkl. Funktion und allem was du hast.

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Ist das eine Fortsetzung von https://www.mathelounge.de/384240/gegeben-ist-die-funktionsschar-fa-x-a²-x-e-a-x

?

Was ist die Funktionsgleichung?

Gleichschenklig ?

Da hast du doch 3 Möglichkeiten für den Scheitel. Alle Ecken des Dreiecks. Was ist da vorgegeben? Was ist a?

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ja das ist die Fortsetzung von

https://www.mathelounge.de/384240/gegeben-ist-die-funktionsschar-fa-x-a²-x-e-a-x

die parallele zur y-Achse geht durch den Punkt Ha(1/a; a/e)

a soll bestimmt werden für den Fall das das Dreieck gleichschenklig ist

zeigen soll ich das alle oben beschriebenen Dreiecke unabhängig von a den Flächeninhalt 1/2 FE haben

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Wenn die Funktionsschar die genannte obige sein soll, dann bitte dort in dem zugehörigen Beitrag weiterfragen.

Bitte keine Aufgaben die aus mehreren Teilen bestehen auseinander reißen.

Nun bitte Aufgaben die nichts miteinander zu tun haben getrennt stellen.

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2.Das Dreieck besteht aus einer Tangente im Koordinatenursprung an der  Funktionsschar (habe ich bereits ermittelt), eine Parallele zur y-Achse durch einen Punkt der Funktionsschar und der x-Achse

Ich soll a bestimmen für die Bedingung, dass das Dreieck gleichschenklig ist und zeigen das der Flächeninhalt unabhängig von a 1/2 ist

Ich weiss nicht wie ich beginnen soll außer die Tangente habe ich noch nichts weiter

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Die Frage habe ich dir doch bereits unter

https://www.mathelounge.de/384661/a-fur-gleichschenkliges-dreieck-ermitteln

beantwortet.

Answer 1

EDIT: Antwort auf die ± Fortsetzung im Kommentar zur Frage. 

f(x) = a^2·x·e^{- a·x}

f'(x) = a^2·e^{- a·x}·(1 - a·x)

Tangente im Ursprung

t(x) = f'(0)·(x - 0) + f(0) = a^2·x

Parallele zur y-Achse

x = 1/a

Fläche des Dreiecks

A = 1/2 * g * h = 1/2 * (1/a) * t(1/a) = 1/2 * (1/a) * a^2·(1/a) = 1/2

Comments

Gleichschenklig ist das Dreieck für |a| = 1.

Wie sieht dann die Tangente aus ?

Kann es noch andere gleichschenklige Dreiecke geben?

Wenn ja warum?

Wenn nein warum nicht?

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Danke aber wie komme ich auf a=1 liegt es daran das die parallele einen rechten Winkel ergibt ?

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Ja. Alles sind rechtwinklige Dreiecke. Da in einem rechtwinkligen Dreieck aber nur die Katheten gleich lang sein können hat man ein gleichschenklig, rechtwinkliges Dreieck. Die Basiswinkel sind 45 Grad und damit muss die Tangente die Steigung 1 haben.

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Du solltest ein Paar Dreiecke für verschiedene a's zeichnen und vergleichen.

Answer 2

G_a schneidet die x-Achse nur für x=0. Das Verhalten von G_a im Unendlichen richtet sich nach dem Vorzeichen von a. Für positive a und x→+∞ ist die positive x-Achse Asymptote. Für positive a und x→ -∞ gehen die Funktionswerte ebebfalls gegen -∞. Für negative a werden die Graphen (gegenüber positivem a) an (0/0) gespiegelt.

Die Schittpunkte von G₂ und G₄ liegen bei x=0 und x=ln2.

Comments

Vielen Dank für die Antwort :) später kam ich ebenfalls auf die genannten Werte, außer bei dem Schnittpunkt. Wie komme ich auf x=0 und x=ln2 ?

Ich habe G2=G4, dann durch x geteilt und danach durch 4 als ich den Logarithmus verwenden wollte kam ich nicht weiter

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Wenn du durch x teilst, kommst du nie auf x=0. (Durch Null darf man ja nicht teilen). Man rechnet so: f₂(x)-f₄(x)=0 oder 4x·e^-2x-16·e^-4x = 0. Ausklammern ergibt dann 4x·e^-2x(1-4e^-2x)=0. Ein Produkt ist Null, wenn ein Faktor Null ist. Der Faktor 4 und der Faktor e^-2x können nicht Null sein. Bleiben noch x=0 oder 1-4e^-2x=0. Dann 1/4=e^-2x Dann Kehrwert bilden: 4=e^2x. Logarithmieren ln4 = 2x. Dividieren durch 2 ergibt  1/2·ln4 = x. Logarithmenregel und Wurzelschreibweise ln√4 = x oder x = ln2.

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Danke ich habe es verstanden :)

Answer 3

außer bei dem Schnittpunkt. Wie komme ich auf x=0 und x=ln2 ?

Ich habe G2=G4, dann durch x geteilt und danach durch 4 als ich den
Logarithmus verwenden wollte kam ich nicht weitervielleicht so:2²  *x*e^-2*x  = 4²  *x*e^-4*x  .dann durch x geteilt . Keine schlechte Idee, geht aber nur

für x≠0.  Andererseits zeigt Einsetzen: 0 ist eine Lösung    #

, also  weiter für x≠0  :
2²  *e^-2*x  = 4²  *e^-4*x    | : 4



e^-2*x  = 4  *e^-4*x     Logarithmus ist doch OK,


aber beachte:  ln von einem Produkt ist die Summe der logs.


-2x = ln(4) + (-4x)


2x = ln(4) = 2*ln(2)   | : 2


x = ln(2)     oder x = 0   wegen #