Induktion mit Summe und Produktsumme: Verallg. von ∑k=0^n(-1)^k/(k+1)*(n über k) = 1/(n+1)

Question

Hallo die Aufgabe lautet :

zeigen sie für alle n∈ℕ0 und alle reellen α ≠ 0,-1,-2.....

n

k

soll hier einen Binomialkoeffizienten darstellen .

Den Anfang habe ich schon gemacht mithilfe leere SUmme bzw. Produktsumme .

Jedoch kann ich den Schritt nicht .

Ich weiß die Rekursionsformel und wie man Index shiftet jedoch bleibe ich immer irgendwo hängen...

es wäre seeeehr nett wenn mir den Schritt jemand zeigen könnte !

Vielen dank!!

Comments

Ich weiß die Rekursionsformel und wie man Index shiftet

dann wende die Induktionsvoraussetzung für  α+1  an.

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" Den Anfang habe ich schon gemacht mithilfe leere SUmme bzw. Produktsumme . "

Verankerung: Nimm besser noch den Fall n=1 dazu. n=0 ist etwas speziell. 

-1^k in der Summe? Ohne Klammern ? Da macht das k eigentlich keinen Sinn. 

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Liebe Leute, ich bräuchte bitte dringest mal eure Hilfe!

Und zwar ist zu zeigen, dass ∑_k=0ⁿ(-1)^k/(k+1)*(n über k) = 1/(n+1) ist.

Ich habe mit vollständiger Induktion probiert, aber mich haut es in der Mitte dan auf und ich komme nicht weiter.

Gibt es noch eine andere Möglichkeit das zu lösen?

Ich freue mich über jeden Tipp.

Glg

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Das ist der Spezialfall  α = 1  von hier

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Ja super, da steht aber auch keine gescheite Lösung.

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Das könnte ein Fall für die vollständige Induktion sein.

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Ja super, jetzt haben wir eine gescheite Lösung. ↓

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Wieso wird diese Frage gelöscht, wenn bei der anderen Frage doch als Lösung hierher verlinkt wird ? Dann hat man doch gar keine Lösung mehr :S

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@jc2144: EDIT. Umleitung vollzogen..

Answer 1

Siehe https://www.mathelounge.de/386994/%E2%88%91k-0n-1-k-k-1-n-uber-k-1-n-1

Answer 2

Hi,
machen wir mal den allgemeineren Fall aus https://www.mathelounge.de/384568/induktion-mit-summe-und-produktsumme#c384612
Es ist also zu zeigen
$$ \frac{1}{\alpha} + \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} \frac{ (-1)^k }{k+\alpha} = \frac{1}{\alpha} \cdot \prod_{k=1}^n \frac{k}{k+\alpha} $$
Den Induktionsanfang mit \( n = 1 \) spar ich mir mal. Für \( n+1 \) gilt dann
$$ \frac{1}{\alpha} + \sum_{k=1}^{n+1} \binom{n+1}{k} \frac{ (-1)^k }{k+\alpha} = \frac{1}{\alpha} + \sum_{k=1}^{n} \binom{n+1}{k} \frac{ (-1)^k }{k+\alpha} + \frac{ (-1)^{n+1} }{n+1+\alpha} $$
Wegen \( \binom{n+1}{k} = \binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} \) folgt
$$ \frac{1}{\alpha} + \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} \frac{ (-1)^k }{k+\alpha} + \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k-1} \frac{ (-1)^k }{k+\alpha} + \frac{ (-1)^{n+1} }{n+1+\alpha} $$ Die Induktionsvoraussetzung liefert jetzt
$$ \frac{1}{\alpha} \cdot \prod_{k=1}^n \frac{k}{k+\alpha} + \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k-1} \frac{ (-1)^k }{k+\alpha} + \frac{ (-1)^{n+1} }{n+1+\alpha} $$ Index Verschiebung beim mittleren Term ergibt
$$  \frac{1}{\alpha} \cdot \prod_{k=1}^n \frac{k}{k+\alpha} + \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k} \frac{ (-1)^{k+1} }{k+1+\alpha} + \frac{ (-1)^{n+1} }{n+1+\alpha} = $$
$$ \frac{1}{\alpha} \cdot \prod_{k=1}^n \frac{k}{k+\alpha} - \frac{1}{\alpha + 1} - \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} \frac{ (-1)^{k} }{k+1+\alpha} - \frac{ (-1)^{n+1} }{n+1+\alpha} + \frac{ (-1)^{n+1} }{n+1+\alpha} $$
Jetzt die Induktinsvoraussetzung auf die Summe mit \( \alpha + 1 \) anwenden und vereinfachen ergibt
$$ \frac{1}{\alpha} \cdot \prod_{k=1}^n \frac{k}{k+\alpha} - \frac{1}{\alpha + 1} - \left[ \frac{1}{\alpha+1} \cdot \prod_{k=1}^n \frac{k}{k+\alpha+1} - \frac{1}{\alpha+1} \right] = $$
$$ \frac{1}{\alpha} \cdot \prod_{k=1}^n \frac{k}{k+\alpha} - \frac{1}{\alpha+1} \cdot \prod_{k=1}^n \frac{k}{k+\alpha+1} = \prod_{k=1}^n \frac{k}{k+\alpha} \cdot \left[ \frac{1}{\alpha} - \frac{1}{n+1+\alpha}  \right] = $$
$$ \frac{1}{\alpha} \cdot \prod_{k=1}^{n+1} \frac{k}{k+\alpha} $$
Für \( \alpha = 1 \) folgt
$$ \frac{1}{\alpha} \cdot \prod_{k=1}^{n+1} \frac{k}{k+\alpha} = \frac{1}{n+1}  $$

Comments

wie kann man die summe ganz am Anfang in ein Produkt umschreiben?

Ist das eine bekannte Formel?

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Ich weiß nicht genau was Du meinst, aber das umschreiben der Summe in ein Produkt ist ja gerade das, was bewiesen werden muss. Das ist keine Annahme von mir. Das geht lediglich in den Induktionsschluss als Induktionsvoraussetzung ein.

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aber ich seh nicht, dass das  1/(n+1) sein soll Wie hast du das herausgefunden?

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Hi,

Für \( \alpha = 1 \) folgt
$$ \frac{1}{\alpha} \cdot \prod_{k=1}^{n+1} \frac{k}{k+\alpha} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdots \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n}{n+1} = \frac{1}{n+1}  $$

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oh mann

klar o.O DANKE

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wie macht man dann aus den Zwei Produkten in der vor vorletzten Zeile nur ein Produkt?

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Meinst Du das hier?

$$ \prod_{k=1}^n \frac{k}{k+\alpha} \cdot \left[ \frac{1}{\alpha} - \frac{1}{n+1+\alpha}  \right] = \frac{1}{\alpha} \cdot \prod_{k=1}^{n+1} \frac{k}{k+\alpha} $$