Supremum Infimum definieren. Bsp. D(x,A) = inf{ |x - y| | y ∈ A }

Question

Hallo

Ich habe paar Probleme mit einer Aufgabe:

Seien A,B ∈ R beschränkt und nicht leer. Definieren Sie für x ∈ ℝ:

D(x,A) = inf{ |x - y| | y ∈ A }

Q(A,B) = sup{ D(x,A) | x ∈ B }

P(A,B) = max{ Q(A,B), Q(B,A) }

Interpretieren Sie die Zahlen D(x,A), Q(A,B) und P(A,B) auf der Zahlengeraden
und beschreiben Sie diese in Worten.

Weitere Frage
Berechnen Sie
$$P({1/2}, [0,1])$$

Nun zu meiner Frage. Ich kann die Aufgabenstellung nicht ganz verstehen. Was bedeutet dieses "D(x,A)" und "Q(A,B)" in Worten übersetzt? Es steht 1:1 so in der Aufgabe und ich verstehe es in dem Kontext der Intervalle nicht. Soll es eine Funktion sein, oder selber ein Intervall darstellen?

Weiter konnte ich mich mir die Lösung zu "Berechnen Sie P({1/2}, [0,1])" erhaschen. Die Lösung ist: P({1/2}, [0,1]) = 0. Wieso ist das so? 1/2 liegt doch im Intervall von [0,1]? Vll beantwortet meine Unklarheit mit D(x,A) auch schon diese Frage.

Comments

ich haette noch eine Frage zu einer Uebungsaufgabe, die ich unlaengst bekam. Ich verstehe die Notation nicht ganz, und ich weiss auch nicht wie genau ich anfangen soll, die Funktionen zu berechnen.

Ich waere sehr dankbar, wenn jemand mir helfen koennte!

Seien A, B ⊂ R beschränkt und nicht leer.

Definieren Sie für x ∈ R

D(x, A) = inf{|x − y| | y ∈ A}

Q(A, B) = sup{D(x, A) | x ∈ B}

P(A, B) = max{Q(A, B), Q(B, A)}.

Interpretieren Sie die Zahlen D(x, A), Q(A, B) und P(A, B) auf der Zahlengeraden und beschreiben Sie diese in Worten. Berechnen Sie P({1/2 }, [0, 1]) und P([0, 1],(0, 2)).

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Guckst du hier: https://www.mathelounge.de/384614/supremum-infimum-definieren

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EDIT: Fragen zusammengeführt.

Answer 1

D(x,A) = inf{ |x - y| | y ∈ A } 

Es muss wohl statt  A,B ∈ R

besser A,B ⊂ R heißen.


Also ist D  eine Funktion,die jedem Paar bestehend aus einer Zahl und einer

beschränkten nicht leeren Menge eineZahl zuordnet .  Dieser Funktionswert gibt sozusagen

an, wie nah das x der Menge A kommt ;  denn 

|x - y| | y ∈ A heißt ja: Es wird der Abstand von x zu

jedem Element der Menge betrachtet.

Wenn also das x in A ist, ist jedenfalls D(x,A)=0.

Q(A,B) = sup{ D(x,A) | x ∈ B }


Hier wird nun für jedes x aus B der Abstand

zu A betrachtet und Q(A,B) gibt an, wie groß der

maximal werden kann.   Damit ist Q eine Funktion, die


einem Paar von nicht leeren beschränkten Teilmengen


eine Zahl zuordnet, und  das beschriebene Maximum .

P(A,B) = max{ Q(A,B), Q(B,A) }

zu Berechnen Sie P({1/2}, [0,1])musst du also Q({1/2}, [0,1])

Q([0,1],{1/2}) bestimmen und davon das größere nehmen.Also los:

Q({1/2}, [0,1])  =  sup{ D(x,{1/2}) | x ∈ [0,1] }Das D wird möglichst groß, wenn x möglichst weit


von der Menge {1/2} weg ist. Das ist für 0 und 1 der


Fall, Also ist hier D(x,{1/2}) = 0,5 , Das inf ist


sogar ein Min.

Q([0,1],{1/2})  =  sup{ D(x, [0,1] ) | x ∈{1/2}}hier gibt es für das x nur die Wahl x=1/2 und weil

das 1/2 im Intervall liegt ist sup{ D(1/2 , [0,1] )=0

Schlussendlich das Max von 0 und 0,5 ist  0,5.


Ich käme bei Berechnen Sie P({1/2}, [0,1])also auf 0,5   ???

Comments

Danke vielmals für Ihre Antwort - ich habe auch das gleiche Problem gehabt.

Es gab auch einen anderen Teil, wo man P([0,1], (0,2)) berechnen sollte. Waere das also gleich 1, da Q(A,B) = 1 und Q(B,A) = 1, oder habe ich etwas falsch verstanden? Ich fuehle mich trotzdem ein bisschen verwirrt, da ein der Intervalle offen ist.

Answer 2

> Seien A,B ∈ R

Ich bin mir ziemlich sicher da steht A,B, ⊆ ℝ.

> Was bedeutet dieses "D(x,A)"

Nimm dir ein paar Beispiele heran, etwas A = {1}, x=2 oder A = {1,2}, x=1/4 oder A = rationale Zahlen zwischen 0 und 2,  x = √2. Bestimme zunächst D(x,A) anhand dieser Beispiele, dann bekommst du ein Verständnis davon, was D(x,A) allgemein ist.

> in dem Kontext der Intervalle

Bei der Definition von D(x,A), Q(A,B) und P(A,B) werden keine Intervalle verwendet.

> Soll es eine Funktion sein

Die Bezeichnung Funktion wird verwendet, wenn Eingabe und Ausgabe Zahlen sind. Bei D(x,A) ist die Eingabe A aber keine Zahl, sondern eine Menge. Deshalb wäre die Bezeichnung Funktion zwar nicht falsch, aber unüblich. D ist eine Abbildung. Sie bildet x und A auf das Infimum der Abtände zwischen x und den Elementen von A ab.

> P({1/2}, [0,1]) = 0

Das ist nicht richtig, weil Q({1/2}, [0,1]) = sup{D(x,{1/2}) | x ∈ [0,1]}  > 0, weil D(0,{1/2}) > 0.