Angeordneter Körper (K,≤). Zeigen Sie: ∀a ∈ K : [∀ x ∈ K : x>0 => x≥a] <=> a≤0

Question

Die Aufgabenstellung lautet:
Sei (K, <=) ein angeordneter Körper. Zeigen Sie:
∀a ∈ K : [∀ x ∈ K : x>0 => x≥a] <=> a≤0

Gilt die entsprechende Aussage auch für eine linear geordnete Menge?

Brauche Hilfe da ich keine Ahnung habe was hier zu tun ist.

Comments

" ∀a ∈ K : [∀ x ∈ K : x>0 => x≥a] <=> a≤0  "

In Worten sollst du zeigen, dass "a aus K genau dann nicht positiv ist, wenn alle  positiven Elemente   von K grösser als a sind."

Answer 1

Für die Richtung: "von rechts nach links" hätte ich eine Idee:

Sei a aus K und  a≤0.     #

Und sei nun auch x aus K  und  x>0   ##

Dann ist wegen der Verträglichkeit von + mit der Ordnung

aus #:      (Addition von x auf beiden Seiten)

                              a + x ≤  0 + x

          also          a+x  ≤   x      (+)
und aus  ##      (Addition von   a auf beiden Seiten)

                     x+a  >   0 + a

also                   x+a  >    a

bzw                a   <     x +a    (++) 

(*) und (**) ergeben wegen der Transitivität der Ordnung

das gewünschte Ergebnis.