Sei K ein angeordneter Körper. Zeigen Sie: x > 0 ⇔ x^{-1} >0

Question

Sei K ein angeordneter Körper. Zeigen Sie:

a) x > 0 gdw x^{-1} > 0

b) \( x < y \text { und } y < z \quad \Rightarrow \quad x < z \)

c) \( 0 < x < y \quad \Rightarrow \quad x ^ { 2 } < y ^ { 2 } \)

d) \( x ^ { 2 } < y ^ { 2 } \text { und } x , y > 0 \quad \Rightarrow \quad x < y \)

Answer 1

Für angeordnete Körper gilt wenn a≤0 und b≤0 dann ist auch a*b≥0, das sollte schon die a) lösen.

Für b) brauchst du das zweite Anordnungsaxiom: a≤b ⇒ a+c ≤ b+c für beliebige a,b,c in K.

du kannst zum Beispiel erst einmal zeigen, dass aus a>0 und b>0 auch a+b>0 folgt und das dann mit a=z-y und b=y-x anwenden.

bei c) könnte helfen, dass y^2-x^2=(y-x)*(y+x) und dann einfach wieder die Axiome richtig anwenden...

versuch doch damit mal weiter zu kommen, ich helfe dann auch gerne nochmal...