Question

Es sei (K, >) ein angeordneter Körper. Zeigen Sie für natürliche Zahlen n ≥ 2 und Elemente x, y aus K.

x^n-y^n=(x-y)(x^n-1 +x*y^n-2 *y+...+x*y^n-2 +y^n-1) ?

Wie kann man diese Aufgabe lösen?? für jede Hilfe dankbar!

Gruß

Comments

xⁿ-yⁿ=(x-y)(x^n-1 +x*y^n-2 *y+...+x*y^n-2 +y^n-1)

müsste es eigentlich so aussehen?

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Nein es sollte eigentlich so aussehen:

\( x^n-y^n) = (x-y)(x^{n-1}+x^{n-2} \cdot y + ... + x \cdot y^{n-2} + y ^{n-1} )\)

Gruß

Answer 1

Man könnte ausmultipizieren und sehen das rechts das gleiche rauskommt wie links.

Gruß 

Comments

Schon klar, aber wie mache ich das mit dem ... auf der rechten Seite, das fällt ja nicht einfach weg, oder?

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Hast du es probiert?

(x-y)(x^n-1 +x^n-2 *y+...+x*y^n-2 +y^n-1) 

= x^n - yx^{n-1} + x^{n-1}y ......+x^2*y^{n-1} -xy^{n-1} + xy^{n-1} - y^n | in der Mitte heben sich                 /                                                            alle Summanden mit dem nächsten gleich wieder auf. 

= x^n - y^n

Achtung! Musste deinen blauen Term korrigieren!

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Mir wäre das als Beweis nicht genug. Kann man da nicht was mit vollständiger Induktion machen? Ist halt schwierig für mich zu sagen, dass alles was mit ... abgekürzt ist sich schön eleminiert, obwohl wir es nie ausgeschrieben haben

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Dann versuch das mal mit vollständiger Induktion! 

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Oder benutz die Summenschreibweise, Induktion ist hier zu viel des Guten.

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Per Induktion war es eigentlich ziemlich einfach (Nach etwas grübeln, für mich war der Teil mit + ... + auch etwas verwirrend). Ich habe es zunächst für n = 2 gezeigt und dann n + 1 gefolgert.

Durch etwas umformen (Und wie Lu gezeigt hat, dass sich die Summanden wegkürzen) hat man dann auch schon die Lösung. Am Ende ist das Ergebnis auf beiden Seiten
xⁿ⁺¹ - yⁿ⁺¹ = xⁿ⁺¹ - yⁿ⁺¹, die Behauptung stimmt also.

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Dann teil ihn doch mit uns :).

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IS:
(xⁿ - yⁿ) = (x-y)(x^n-1+yx^n-2+...+xy^n-2+y^n-1)                  | *(x+y)
xⁿ⁺¹ + yxⁿ - xyⁿ - yⁿ⁺¹ = (x-y)(x^n-1+yx^n-2+...+xy^n-2+y^n-1)(x+y)
xⁿ⁺¹ - yⁿ⁺¹ = (x-y)(x^n-1+yx^n-2+...+xy^n-2+y^n-1)(x+y) + yxⁿ - xyⁿ
xⁿ⁺¹ - yⁿ⁺¹ = (xⁿ-yⁿ)(x+y) + yxⁿ - xyⁿ
xⁿ⁺¹ - yⁿ⁺¹ = xⁿ⁺¹ + yxⁿ - xyⁿ - yⁿ⁺¹ - yxⁿ + xyⁿ
xⁿ⁺¹ - yⁿ⁺¹ = xⁿ⁺¹ - yⁿ⁺¹
q.e.d

Bin ich ganz stolz drauf *g* :-D

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Hab ich mir schon fast gedacht. Du hast gezeigt, dass die linke Seite gleich der linken Seite ist aber nicht, dass die Gleichung aus der Behauptung gilt. Dein "Beweis" beißt sich selber in den Schwanz.

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Wieso das Yakyu? Ich zeige ja den Beweis für den Nachfolger, indem ich mit (x+y) multipliziere.
Dann erhalte ich xⁿ⁺¹ + yxⁿ - xyⁿ - yⁿ⁺¹ links und rechts (x-y)(x^n-1+yx^n-2+...+xy^n-2+y^n-1)(x+y).

Sag mir jetzt nicht, dass alles umsonst war :-/

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Und dadurch das du (x-y)(x^{n-1}+....) durch x^n - y^n ersetzt hast du doch genau dieselbe Rechnung wie links aber das hat doch gar nichts mehr mit der Gleichung aus der Behauptung zu tun. Jein, der Versuch ging in die Hose. Klar kannst du durch umformen den IS noch machen, aber damit würdest du nur das eigentliche Problem verdrängen (nämlich die lange Summe in der Klammer darzustellen und zu verstehen). 

Ich habe mein obigen Tipp schon mit Bedacht gewählt ;).

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Als Anmerkung habe ich geschrieben:
Aus (x-y)(x^n-1+yx^n-2+...+xy^n-2+y^n-1)(x+y) (Der Term steht ja schon als Behauptung auf der rechten Seite) folgt: (xⁿ + yx^n-1 + ... + x²y^n-2 + xy^n-1) - (yx^n-1 + y²x^n-2 + ... + xy^n-1 + yⁿ). Und hier kann man ja eindeutig erkennen, dass sich die Summanden wegkürzen... Wenn das nicht als Lösung reicht bin ich ratlos :-(

Also reicht dann: (x-y)(x^n-1+yx^n-2+...+xy^n-2+y^n-1) auszumultiplizieren?
Ist ja nichts anderes als xⁿ - yⁿ, da die Summanden in der Mitte wegfallen.
Aber dann ist das ja nicht für alle n größer gleich 2 gezeigt, sonder nur, dass die Gleichung stimmt.

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Ich glaub du willst mich veräppeln ^^
Also reicht dann: (x-y)(x^n-1+yx^n-2+...+xy^n-2+y^n-1) auszumultiplizieren? 
Von Anfang an JA. Aber das hast du doch hier schon gemacht (wobei die Folgerung ja auch nicht stimmt, was passiert mit dem Faktor (x+y)?):
Aus (x-y)(x^n-1+yx^n-2+...+xy^n-2+y^n-1)(x+y) (Der Term steht ja schon als Behauptung auf der rechten Seite) folgt: (xⁿ + yx^n-1 + ... + x²y^n-2 + xy^n-1) - (yx^n-1 + y²x^n-2 + ... + xy^n-1 + yⁿ).
Ist ja nichts anderes als xⁿ - yⁿ, da die Summanden in der Mitte wegfallen. 

Ja toll, das ist doch was gezeigt werden soll -,-. 
Aber dann ist das ja nicht für alle n größer gleich 2 gezeigt, sonder nur, dass die Gleichung stimmt.

Und warum nicht?

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Ich steig aus... ich weiß nicht mehr weiter. 12 Stunden waren heute zu lange..