Riemann Summe bei Integration

Question

Berechne das Integral$$ \int _{ a }^{ b }{ { x }^{ 2 } } dx $$mittels der Riemann'schen Summe.
Hinweis: Wähle eine äquidistante Zerlegung des Intervalls [a,b] über x_i := a+ih mit i = 0,..,n und h = (b-a)/n und benütze die Stützstellen ξ_i := x_i-1 mit i = 1,...,n.Setze zur Vereinfachung zunächst a=0 und verallgemeinere dein Ergebnis anschließend indem du die Gebietsadditivität des Integrals benützt.
Ich weiß nicht wie ich das Beispiel lösen kann.

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Berechne das Integral$$ \int _{ a }^{ b }{ { x }^{ 2 } } dx $$mittels der Riemann'schen Summe.Hinweis: Wähle eine äquidistante Zerlegung des Intervalls [a,b] über x_i := a+ih mit i = 0,..,n und h = (b-a)/n und benütze die Stützstellen ξ_i := x_i-1 mit i = 1,...,n.Setze zur Vereinfachung zunächst a=0 und verallgemeinere dein Ergebnis anschließend indem du die Gebietsadditivität des Integrals benützt.Ich weiß nicht wie ich das Beispiel lösen kann.

Answer 1

 $$\sum_{i=1}^{n}{f({ x }_{ i-1 })*h}$$$$\sum_{i=1}^{n}{({ x }_{ i-1 })^2*h}$$
wegen a= 0
$$\sum_{i=1}^{n}{((i-1)*h)^2*h}$$
$$\sum_{i=1}^{n}{(i-1)^2*h^3}$$
$$h^3*\sum_{i=1}^{n}{(i-1)^2}$$
mit der Formel für die Summe der ersten Quadratzahlen von 0^2 bis (n-1)^2 gibt das
$$h^3*\frac { 1 }{ 6 }*(n-1)*n*(2n-1)$$
h einsetzen gibt
$$(\frac { b}{ n })^3*\frac { 1 }{ 6 }*(n-1)*n*(2n-1)$$
$$b^3*\frac { 1 }{ 6 }*\frac { n-1 }{ n }*\frac { n }{ n }*\frac { 2n-1 }{ n }$$
Für n gegen unendlich gehen die letzten 3 Brüche gegen 1 und 1 und 2 also insgesamt Grenzwert
$$b^3*\frac { 1 }{ 6 }*2  =\frac { b^3 }{ 3 }  $$
Und dann mit der Gebietsadditivität den Rest.

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Und wie geht das mit der Gebietsadditivität weiter?Laut Definiton ist das$$ \int _{ a }^{ b }{ f\quad dx\quad =\quad \int _{ a }^{ { x }_{ 0 } }{ f\quad dx\quad \quad +\quad  } \int _{ { x }_{ 0 } }^{ b }{ f\quad dx }  }  $$Auf mein Beispiel angepasst heißt das$$ \int _{ 0 }^{ b }{ f\quad dx\quad =\quad \int _{ 0 }^{ a }{ f\quad dx\quad \quad +\quad  } \int _{ a }^{ b }{ f\quad dx }  } $$umgeformt ergibt das$$ \int _{ 0 }^{ b }{ f\quad dx\quad -\quad \int _{ 0 }^{ a }{ f\quad dx\quad \quad =\quad  } \int _{ a }^{ b }{ f\quad dx }  }  $$Stimmt das so?Was muss ich dann einsetzen?

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Und für die Integrale, die bei 0 beginnen hast du ja

b^3 /3    bzw.   a^3 / 3

also ist das Integral von a bis b

=  b^3 /3   -   a^3 / 3