Konvexe Mengen im Zweidimensionalen: D(0,1): Inneres des Einheitskreises.

Question

ich komme bei einer Aufgabe nicht so recht weiter und hoffe das ihr mir weiterhelfen könnt.

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass $$ D(0,1) = \{(x,y) \in \mathbb{ R} ^2 | \sqrt{x^2 +y^2} < 1 \} $$ eine konvexe Menge definiert

Es ist offensichtlich, dass diese Menge konvex (ich habe mir das mal Graphisch verdeutlicht).

Es muss also gezeigt werden

$$ \forall a,b \in D(0,1) | S(a,b) \subset D(0,1) $$

Wobei

$$ S(a,b) = \{at+ (1-t)b | t \in [0,1]\} $$

Jetzt bin ich mir unsicher wie ich das zeigen soll

Für die Komponenten von $$ a,b \in D(0,1) $$ muss ja folgendes gelten

$$ 0 \leq a_1 < 1 \wedge 0 \leq  a_2 < 1 $$ Das gleiche für b

Hmm, irgendwie fehlt mir der richtige Ansatz. Könnte mir bitte jemand weiterhelfen

Answer 1

Alle Punkte aus S muessen in D liegen. Dazu kannst Du nachrechnen, dass für alle p ∈ S gilt: |p| < 1.

Comments

Okay

z.z. $$ \forall p \in S : | p | < 1$$

$$ p = at + b(1-t) = (a_1 t + b_1(1-t) , a_2 t+ b_2(1-t)) $$

$$ |p| = \sqrt {(a_1 t + b_1(1-t))^2 +(a_2 + b_2(1-t))^2 }$$

Ich habe die Terme in der Wurzel ausgeschrieben, habe aber nicht gesehen warum das größer als eins sein soll.

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Es wird was damit zu tun haben, dass \(|a|<1,|b|<1\) und \(t\in[0,1]\) ist. Musst Du halt selber ein bisschen dran arbeiten. Tipp: Nit den Vektoren und Rechenregeln für die Norm geht's besser.

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Das Problem ist, dass ich bereits falsch anfange.

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Es gibt nur einen Anfang. Schaetze \(|p|=|ta+(t-1)b|\) ab. Verwende direkt die Vektoren und Rechenregeln für die Norm.

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Aber das habe ich doch gemacht in dem ich den Betrag bereits ausgeschrieben habe.

Ich setze mich morgen nochmal mit einem klaren Kopf an die Aufgabe, Ich sehe es anscheinend nicht...

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Aber das habe ich doch gemacht in dem ich den Betrag bereits ausgeschrieben habe.

Und ich hab 2x versucht, Dir zu verklickern, dass es einfacher geht, wenn man den Betrag nicht bis zur Definition ueber die Komponenten aufloest.

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$$ |p| = |ta+(t-1)b|  \leq |ta| + |(t-1)b| = |t| \cdot |a| + |(t-1)| \cdot |b|$$

Hier sieht man es bereits, dass die Summe kleiner 1 ist. Wenn ich t=1 einsetzte verschwindet der zweite Summand und für t=0 der erste.

Ich sehe aber leider noch nicht wie ich das ganze Mathematisch korrekt zeige.

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Vielleicht machst Du ja mal die ueberfluessigen Betragsstriche weg und interpretierst das Ganze: $$|p|<t|a|+(1-t)|b|.$$ Was ist das rechts?

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Rechts steht eine reelle Zahl, die den Abstand von jedem Punkt auf der Verbindungsgeraden (von a nach b) zum Ursprung angibt (je nach dem welches t ich einsetze). 

Ich bin mir nicht sicher ob ich deine Frage richtig verstanden habe.

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Quark.

\(t|a|+(1-t)|b|\) ist für \(t\in[0,1]\) ein (gewichteter) Mittelwert von \(|a|\) und \(|b|\).

Alternativ: 

\(\left\{t|a|+(1-t)|b|:t\in[0,1]\right\}\) ist die Strecke in 1D mit den Endpunkten \(|a|\) und \(|b|\).