Grenzwert einer Funktion von mehreren Veränderlichen

Question

folgende Funktion $$ f(x,y)=\frac{\sin (x^2 + y^2)}{x^2 + y^2} $$ ist gegeben. Ich soll den Grenzwert dieser Funktion im Punkt (0,0) berechnen.

Mein Ansatz:

Ich habe eine Punktfolge aus dem Definitionsbereich von f bestimmt $$ x^k = (1/k,1/k) $$, sodass

$$ \lim\limits_{(x,y) \rightarrow 0} f(x,y) = \lim\limits_{k \rightarrow \infty} f(x^k) = \lim\limits_{ k \rightarrow \infty} \frac{\sin (1/k +1/k)}{1/k^2 + 1/1k^2} $$

Das hilft mir aber leider nicht weiter.

Answer 1

Fuer die Existenz des Grenzwertes sind alle moeglichen Nullfolgen zu betrachten und nicht bloss eine spezielle. Nur wenn Du per Gegenbeispiel zeigen willst, dass der Grenzwert nicht existiert, kannst Du Dich auf spezielle gewaehlte Folgen zurueckziehen.

Betrachte die Funktion als Verkettung: \(f(x,y)=\phi(x^2+y^2)\) mit \(\phi(t)=\frac{\sin t}{t}\).

Comments

Stimmt, da hatte ich einen Denkfehler. Okay mit diesem Tipp sehe ich, dass der Grenzwert 1. Da:

$$ \lim \limits_{ t \rightarrow 0} \frac{ \sin(t) }{ t } $$ mit der Regel von L 'Hopital leicht berechnen lässt.

Ich weiß aber leider nicht, wie ich das mathematisch korrekt hinschreibe.

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Substitution \(t=|(x,y)|^2\). Dann ist \(\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=\lim_{t\to0^+}\phi(t)\).