Ermittlung der Gleichung von 2 Ursprungsgeraden die sich an der Parabel schneiden.

Question

3.0 Die Parabel P ist der Graph der Funktion p:x = 0,5x²-5x+8 mit D=R.

3.2 Zwei Tangenten g und h an P sind Ursprungsgeraden. Ermitteln Sie deren Gleichungen. [Teilergebnis: g:y=-x]

Lösung von 3.2 ist:

m1=-1; m2=-9; g:y=-x; h:y=-9x

wie kommt man da drauf ich habe keine Vorkenntnisse von Ursprungsgeraden. Morgen schreibe ich eine Prüfung bitte helft mir. Kann mir jemand den Rechenweg posten?

Answer 1

p(x) = 0,5x^2 - 5x + 8

p'(x) = x - 5

Die allgemeine Gleichung einer Geraden lautet:

y = mx + b

wobei m die Steigung der Geraden ist und b eine Verschiebung nach oben oder unten.

Wenn wir Ursprungsgeraden haben, die also durch den Ursprung verlaufen, fällt diese Verschiebung b weg und

wir erhalten die vereinfachte Geradengleichung:

y = mx

Die Tangente an die Parabel muss an diesem Punkt natürlich den gleichen Wert und auch den gleichen Anstieg haben, also

m = x - 5

und damit 

y = (x - 5)*x

An welchen Stellen gilt also 

g bzw. h = (x - 5)*x = p(x) = 0,5x^2 - 5x + 8

x^2 - 5x = 0,5x^2 - 5x + 8

0,5x^2 = 8

x^2 = 16

x = ± 4

 

p(4) = -4

g(4) = -4, also g = -x

p(-4) = -36

h(4) = -36, also h = -9x

 

Etwas chaotisch - ich hoffe, es war trotzdem eine kleine Hilfe :-)

Comments

Danke sehr, für die ausführliche Antwort. Ist alles nachzuvollziehen doch eines verstehe ich nicht:

Wie haben Sie "p'(x) = x - 5" ausgerechnet oder woran kann man das ablesen?

---

p(x) = 0,5x^2 - 5x + 8

Der Anstieg p'(x) wird bei solche einfachen Polynomen (oder Parabeln) wie folgt berechnet: 

Man multipliziert den Faktor vor dem x mit dem Exponenten des x und verringert den Exponenten um 1, 

also wird aus 0,5x^2 => 0,5*2 * x^{2-1}, also 1 * x^1 = x

und aus - 5x wird -5*1 * x^{1-1} = -5 * x^0 = -5

Konstanten wie hier die 8 fallen weg, denn das heißt ja eigentlich

8 * x^0 => 0*8 * x^{-1} = 0 

 

Ich versuche, das nochmals allgemein an folgendem Beispiel zu verdeutlichen: 

f(x) = a*x^3 + b*x^2 + c*x + d

f'(x) = 3a*x^2 + 2b*x + c

Das kann man noch weiter ableiten wie folgt: 

f''(x) = 6a*x + 2b

f'''(x) = 6a

f''''(x) = 0

(Denn a, b, c und d sind Konstanten.)

 

Ist das klar geworden? Wenn nicht, gerne nochmal nachfragen :-)

---

danke hat mir sehr geholfen super! schönen abend noch!

---

Gerne :-)

Ihnen auch noch eine schöne Nacht :-)

---

Da hätte ich auch noch eine Frage dazu hoffe das liest noch jemand:

Wenn ich die Normalform            p(x) = 0,5x² - 5x + 8 
in die Scheitelform umwandel      p(x) = 0,5(x-5)² -4,5

ist das in der Klammer (x-5) genau der selbe Wert wie oben für m berechnet wurde.
Ist das hier nur Zufall oder kann ich mir merken das die Klammer in der Scheitelform = m der tangente?

---

Ich hätte da auch noch eine Frage, ich verstehe den Rechenweg, aber könnten Sie bitte die Schritte erklären, wie man bei dem letzten Abschnitt vor geht:

---------

p(4) = -4

g(4) = -4, also g = -x

p(-4) = -36

h(4) = -36, also h = -9x

-----------

Wie kommt man auf -4 und -36 und ich verstehe die Schreibweise p(4) = bzw. g(4) = etc. nicht. Ist es das selbe wie das hier und ist das überhaupt richtig so wie ich es gemacht habe?

g: m=x-5
=4-5 = -1  --> y=-1x

h: m=x-5
= -4-5 = -9  -->y=-9x

---

Ich habe mir jetzt nur deine aktuelle Frage durchgelesen und nicht den Rest, aber vielleicht kann ich dir ja trotzdem weiterhelfen. p(4) bedeutet, dass du in der Funktion "p" für alle x den Wert 4 einsetzt:

$$p(x)=0.5x^2-5x+8$$

$$p(4)=0.5 \cdot 4^2 -5 \cdot 4 + 8 = 8 - 20 + 8 = -4$$

Mit p(4) berechnest du den y-Wert deiner Funktion p an der Stelle x=4.

Vielleicht ist der Rest dann jetzt klar.

Answer 2

\(p(x)=0,5x^2-5x+8\)  

Die Berührpunkte haben die Koordinaten B \((x|0,5x^2-5x+8)\)

\(p'(x)=x-5\) 

\(U(0|0)\)

Punkt -Steigungsform der Geraden:

\(\frac{y-0}{x-0}=x-5\)

\(y=x^2-5x\) Diese Parabel schneidet  \(p(x)=0,5x^2-5x+8\) in den Berührpunkten:

\(x^2-5x=0,5x^2-5x+8\) 

\(0,5x^2=8\)

\(x_1=4\)    \(p(4)=0,5\cdot 4^2-5\cdot4+8=-4\) 

\(x_2=-4\)    \(p(-4)=36\) 

Jetzt noch die Tangenten berechnen.