In welchen Punkten schneiden bzw. berühren sich die Parabel p und die Gerade g?

Question

hier sind die werte  p: f(x)=x²-3x+1 und g: f(x)=-x+4 wie rechne ich diese aufgabe mit der quadratische ergänzung?

Ich weiss, dass ich gleichsetzen muss:

x²-3x+1=-x+4   I +x   I -1

x²-2x=3

aber wie geht es weiter?

Answer 1

Hi,

f(x)= x²-3x+1

g(x)= -x+4

Gleichsetzen.

x²-3x+1=-x+4 |+x-4

x²-2x-3=0 |pq-Formel

mit p=-2 und q=-3

x_1/2=-(-2)/2±√((2-)/2)²-(-3)

x₁=3

x₂=-1

S₁(3|1)

S₂(-1|5)

Skizze:

Answer 2

Die 3 auf die andere Seite subtrahieren und dann die PQ-Formel anwenden. Dann gibt es zwei, einen oder keinen Schnittpunkt. Und mit der quadratischen Ergänzung muss man ein wenig nachdenken.

Du willst die Gleichung ja in der Form ( x - a )^2 = b schreiben.

$$x^2 - 2x - 3 = 0$$

$$x^2 - 2\cdot \frac{1}{2} x - 3 = 0 ~~~ | +(\frac{1}{2})^2$$

$$x^2 - 2\cdot \frac{1}{2} x + (\frac{1}{2})^2 - 3 = (\frac{1}{2})^2$$

Jetzt sieht man, dass auf der linken Seite die Form ( x- a)^2 entstanden ist:

$$(x - \frac{1}{2})^2 - 3 = (\frac{1}{2})^2$$

$$(x - \frac{1}{2})^2 = (\frac{1}{2})^2 + 3$$

Und jetzt +- Wurzel ziehen.

Comments

also geht es mit der quadratischen ergänzung gar nicht?

kenne mich mit der pq formel nicht so gut aus


trotzdem danke für die antwort :)

Answer 3

Ich habe in der Schule ca 1968 die Lösung dieser Aufgaben
mit der quadratischen Ergänzung gelernt. Die pq-Formel
nutze ich nicht bzw. habe mir diese auch nicht gemerkt.

Hier nocheinmal die Lösung mit der quadratischen Ergänzung
und Beschreibung

Alle x auf die linke, alle Werte auf die rechte Seite
x²-3x+1=-x+4   I +x   I -1
x^2 - 2x = 3
x^2 darf keine Vorzahl mehr haben ( Ist hier gegeben, sonst teilen )
Die quadratische Ergänzung beruht auf einer binomischen Formel.
Hier wird die 2.binomische Formel angewendet
( a - b )^2
a^2 - 2ab + b^2
x^2 - 2x + ?
Merke : die binomische Ergänzung ist die Hälfte der Vorzahl
von x zum Quadrat
2 / 2 = 1
x^2 - 2x + 1^2 = 3 + 1^2
binomische Formel als ()^2 schreiben
( x - 1 )^2 = 4
Wurzelziehen
x - 1 = ± 2
x = 3
x = -1
Probe mit der Ausgangsgleichung
x^2 - 3x +1 =-x+4
x = 3
3^2 - 3*3 + 1 = -3 + 4
9 - 9 + 1 = 1  | stimmt
x^2 - 3x +1 =-x+4
x=-1
(-1)^2 - 3*(-1) + 1 = -(-1) + 4
5 = 5  | stimmt

Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

mfg Georg

Comments

"x2 darf keine Vorzahl mehr haben ( Ist hier gegeben, sonst teilen )" Aus diesem Grund bevorzuge ich die abc-Formel. :)

Answer 4

x²-2x=3           |quadratisch ergänzen

x²-2x+1 =3 +1            Links: Binom

(x-1)^2 = 4         |√

x-1 = ±2

x = 1 ±2

x1 = 3

x2 = -1

Einsetzen in p oder g

g:  f(x)=-x+4 

f(3) = -3 + 4 = 1. ==> P(3|1)

f(-1) = 1 + 4 = 5 ==> Q(-1|5)

P und Q sind die beiden Schnittpunkte.