g(x)=x^2 Bestimmen Sie die Tangentengleichung der Tangenten durch R(0|-4) an den Graph von g(x)

Question

Gegeben ist die Funktion : g(x)=x² Bestimmen Sie die Tangentengleichung der Tangenten, die den Graph von g(x) berühren und durch den Punkt R(0|-4) laufen.

 

Comments

Könnt ihr schon ableiten oder sollt ihr das unter dem Thema quadratische Gleichungen lösen?

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Ja wir können schon ableiten!

Answer 1

Hier mal eine Skizze:

Die Geraden durch (0|-4) haben alle die Gleichung y = mx -4, dabei ist m die Steigung der Geraden.

y=x^2

y' = 2x

Berührungspunkt B(a,a^2) und Steigung 2a.

Daher gilt für die Tangentengleichung

y = 2ax - 4, mit m= 2a

Ich setze B ein

a^2 = 2a^2 - 4

4 = a^2

±2 = a

m= 2a = ±4

t1: y = 4x -4

t2: y= -4x -4       (symmetrische Lösung, nicht in meiner Skizze!)

Comments

Nachtrag (als Repetition):

Wie man die Aufgebe lösen würde, wenn sie beim Thema quadratische Gleichungen gestellt würde.

Die Geraden durch P(0|-4) haben alle die Gleichung y = mx -4, dabei ist m die Steigung der Geraden.

Die Kurve hat die Gleichung y=x²

Nun hat eine Tangente an eine Parabel mit dieser genau einen Punkt gemeinsam. Man tut so, wie wenn man Schnittpunkte berechnen würde und sorgt im entscheidenden Moment dafür, dass genau eine Lösung rauskommt.

Gleichsetzen:

mx - 4 = x^2

Nach x auflösen

0 = x^2 - mx + 4

Quadratische Gleichung mit a=1, b=-m, c = 4. Damit da genau eine Lösung vorhanden ist, muss unter der Wurzel, d.h. in der Diskriminante 0 stehen.

D = b^2 - 4ac = m^2 - 16 = 0

m^2 = 16

m = ±4

t₁: y = 4x - 4

t₂: y = -4x -4

Bemerkung: Mit der pq-Formel für die Diskriminante musst du dasselbe Resultat für m erhalten.

Answer 2

g(x) = x^2

g'(x) = 2x

Die Tangenten müssen also auch den Anstieg 2x haben. 

t₁ = -4 + mx = x^2

t₂ = -4 - mx = x^2

Wir lösen das nach m, dem Anstieg der Tangenten, auf: 

mx = x^2 + 4

m = x + 4/x

Dieser Anstieg muss mit dem von f(x) an der gesuchten Stelle übereinstimmen

x + 4/x = 2x

4/x = x

4 = x^2

x₁ = -2, T₁ = (-2|4)

x₂ = +2, T₂ = (2|4)

An diesen Stellen berühren die beiden Tangenten den Graphen von f(x). 

Der Anstieg des Graphen von f(x) ist an den beiden Punkten

f(-2) = 2 * (-2) = -4

f(2) = 2 * (2) = 4

Deshalb heißen die beiden Tangentengleichungen wie folgt: 

t₁ = -4 - 4x = -4x - 4

t₂ = -4 + 4x = 4x - 4

 

Ich hoffe, ich habe es halbwegs verständlich erklärt :-)

Answer 3

Huhu

Mathe - haha. Ich hab da auch immer so meine Probleme. Also ich glaube das die Funktion ja noch eher zu den Basics der quadratischen Gleichungen gehört. Deßhalb empfehle ich dir dich mit den Basics auseinanderzusetzen.

Eine detaillierte Rechnung mit Grafik wurde ja schon geliefert und dem ist nichts hinzuzufügen.

Die folgende Seite bietet dir wenn du es Stück für Stück lernen willst die Möglichkeit  alles zu den Themen "Quadratische Funktionen" "Quadratische Gleichungen" und Binomische Formeln etc. zu lernen.

Es ist sehr übersichtlich und nicht zu sehr fachgesimpel. Also man versteht es auch gut als nicht Mathebrain.

Darüber hinaus gibt es auch ein paar Leervideos zu Gleichungslösungen. Ich hoffe dir einen hilfreichen Link damit geben zu können.

https://www.matheretter.de/mathe-videos

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