Gleichungen jener Tangenten an die Ellipse

Question

Ermittle Gleichungen jener Tangenten an die Ellipse b) ell: 4x²+9y²=288, die parallel zu denjenigen Geraden ind, die jeweils durch einen Haupt- und einen Nebenscheitel gehen! Berechne auch die Koordinaten der Berührpunkte!

bitte mit Rechenschritte

  

Answer 1

Ich machs mal mit Stichworten, vielleicht reicht dir das schon

1). Um eine Tangente zu berechnen brauchts du, u.a., die Steigung also:

1a). die Formel in die übliche Form y=... bringen

1b). Ableiten. Dabei die Kettenregel anwenden => y'=...

2). Wenn du dir vergegenwärtigst wie die Ellipse liegt hast du die Steigung(en) der Geraden.

3). Diese Steigungen sind dann das y' aus (1b). Einsetzen, nach x auflösen, x bestimmen. Damit hast du den/die zu diesen Geraden gehörenden x Wert(e).

Die Geradengleichung lautet ja y=mx+b.

3). m ist die Steigung aus (2), x ist der x-Wert aus (3). Dies Geradengleichung und die Ellipsengleichung gleich setzen. Das ganze so Auflösen das du einen - genau einen - Wert für y bekommst (sonst ist es ein Schnittpunkt und kein Berührpunkt). Da passiert bei ganz bestimmten b-Werten. Diese Bestimmen.

=> damit hast du m und b für die Geradengleichungen.

Die Punkte zu berechnen sollte auch kein Problem sein (?).

 

Das sieht jetzt komplizierter aus als es ist, es hier zu erklären dauert fast länger als es zu machen :-)

Beachte: Beim Wurzelziehen gibt es immer zwei Ergebnisse.

Irgendwo bekommst du es mit Unendlichkeiten zu tun. Wie man das behandelt kann ich ad-hoc nicht sagen. Vielleicht hat da jemand anderes 'n Idee, oder einen einfacheren Ansatz.

Comments

es ist wirklich sehr kompliziert es tut mir wirklich leid aber koennen sie es bitte ausrechnen weil sowas haben wir nicht in der schule gemacht und vielen Dank

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Da hb ich erst heute Abend Zeit für. Wenns dann noch kein anderer gemacht hat probier ich mich dran.

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Aehm, wie kann ich hier nochmal Antworten? Das Eingabefeld ist weg. (Sorry, bin neu hier. )

 

Also ich versuchs mal hier.

1a) Umwandeln, d.h. nach y auflösen.

Ist natürlich: " y= √(288-4x²) /9 " (wobei die "9" unter der Wurzel steht) (bei Kommentieren hab ich keinen Formeleditor, mal sehen ob es ohne geht)

1b) Ableiten

Die Kettenregel lautet: wenn y=u(v(x)) dann ist y'= u'(v)*v'(x)

in unseren Fall ist v(x)=288-4x² und u(v)=(1/9) *(v^{1/2}) mit v = 288-4x² (wobei das ^ für Potenz steht)

v'(x) ist dann -8x [Potenzregel]

u'(v) ist dann (1/9)*(1/2)*v^{-1/2} [Potenzregel] => (1/18)*v^{-1/2} => 1/(18 * v^{1/2}) => 1/(18*√(v))

y' ist dann -8x * 1/(18 * v^{1/2}) , jetzt v einsetzen

=> y' = -8x/(18 * (288-4x²)^{1/2})     [(...)^{1/2} ist eine andere Schreibweise für √(...) ]

2) Steigungen bestimmen

Wir reden hier über eine Ellipse die horizontal liegt. D.h. die Steigungen der Tangenten sind einmal 0 (Null) und einmal ∞ (Unendlich d.h. Senkrecht)   [Das war das Unendlich von dem ich gesprochen habe]

3) Passendes x bestimmen

3a) Steigung ist m=0

d.h. y' = 0 => 0 = -8x*/(...)

"Ein Bruch ist dann Null wenn der Zähler Null ist (solanage der Nenner nicht auch Null wird)"

=> 0 = -8x => 0=x

d.h. für die horzontale Tange(n) ist der x Wert Null. Der Nenner ist dann ≠ 0, wie ein einfaches Einsetzen der Werte ergibt.

3b) Steigung ist m=∞

d.h. y' = ∞ => ∞ = -8x*/(...)

"Ein Bruch wird dann maximal wenn der Nenner Null wird (solange ...)"

d.h. 0=18 * (288-4x²)^{1/2} | :18

=> 0 = (288-4x²)^{1/2} | ()²      [Quadrieren beider Seiten]

=> 0 = 288 -4x² | + 4x²

=> 4x² = 288 | :4

=> x² = 72 | √

=> x = √72 = ~±8,4853 [Das war das "zwei Ergebnisse beim Wurzelziehen" von dem ich gesprochen habe]

4) Gleichung der Tangenten bestimmen

4a) mit m=0

y=0*x+b

bei x=0 hat die Gleichung den Wert y=√(288-4*0²) /9 => √(288) /9 => √(2*144) /9 => (√2*√144) /9 => √2*12/9 => √2*4/3 = ~±1,8856 [auch hier zwei Ergebnisse]

=> die Berührpunkte liegen bei (0|√2*4/3) und (0|-√2*4/3)

Die Geradengleichung lauten "y = √2*4/3" und "y=-√2*4/3" [es ist korrekt das in der Gleichung kein x vorkommt.]

4b) mit m=∞

y=∞*x+b

Die x-Werte der Berührpunkte liegen bei ±√72 (hab ich oben ausgerechnet)

In die Gleichung y= √(288-4x²) /9 eingesetzt => y = 0

d.h. diese Berührpunkte liegen auf der X-Achse.

Die Koordinaten sind dann (+√72|0) und (-√72|0)

Wir haben also eine Senkrechte Tangente. Senkrechte Geraden können aber in der y=mx+b Form nicht dargestellt werden. Insbesondere der Wert b ist ja der Punkt wo die Gerade die y-Achse schneidet. Den gibt es hier aber gar nicht.

=> Geradengleichungen können nicht aufgestellt werden. (Das ginge nur in der Vektorform)

Möglicherweise ist da ein Fehler in der Aufgabenstellung. Vielleicht will der Lehrer aber auch sehen ob Ihr genau das kapiert hat.

Es ist jetzt doch umfangreich geworden. Am besten du gehst mal wirklich alles Schritt-für-Schritt durch.

 

 

Ich hoffe das ist jetzt alles verständlich und die Funktionen lesbar sind.

By

Reinhard

 

Answer 2

\(4x^2+9y^2=288\)

\(f(x,y)=4x^2+9y^2-288\)

\(f_x(x,y)=8x\)     \(8x=0\)    \(x=0\) :

Diese Gerade geht durch den Mittelpunkt der Ellipse und schneidet diese in den Punkten:

\(9y^2=288\)    \(y_1=4\sqrt{2}\)     \(y_2=-4\sqrt{2}\)     \(B_1(0| 4\sqrt{2})\) und  \(B_2(0| -4\sqrt{2})\) 

Nebenachsentangenten: \(y=4\sqrt{2}\) oder \(y=-4\sqrt{2}\)

\(f_y(x,y)=18y\)  \(18y=0\)  \(y=0\):

Diese Gerade geht durch den Mittelpunkt der Ellipse und schneidet diese in den Punkten:

\(4x^2=288\)   \(x_1=6\sqrt{2}\)      \(x_2=-6\sqrt{2}\)   \(A_1(6\sqrt{2}|0)\) und \(A_2(-6\sqrt{2}| 0)\)  

Hauptachsentangenten: \(x=6\sqrt{2}\)   oder   \(x=-6\sqrt{2}\)