Parabel 2 Tangenten. Ermittlung der Gleichung.

Question

3.0 Die Parabel P ist der Graph der Funktion p:x = 0,5x²-5x+8 mit D=R.

3.2 Zwei Tangenten g und h an P sind Ursprungsgeraden. Ermitteln Sie deren Gleichungen. [Teilergebnis: g:y=-x]

Ich verstehe nicht wie ich die Gleichungen der Tangenten ermitteln soll. Ich weiss nur dass y=mx+t ist. Könnt Ihr mir bitte helfen?

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Lösung siehe Aufgabe:

Ermittlung der Gleichung von 2 Ursprungsgeraden die sich an der Parabel schneiden.

Answer 1

Ursprungsgeraden haben die Form

y = m * x

Ihr y-Achsenabschnitt ist also 0.

Gesucht sind nun Stellen xs ), in denen solche Ursprungsgeraden die Parabel P schneiden und in denen die Steigung m einer solchen Geraden gleich der Steigung des Graphen von P an der Stelle xs ist (dann nämlich sind diese Ursprungsgeraden auch Tangenten an P an der Stelle xs)

 

Die Steigung m der Geraden muss also gleich dem Wert der Ableitung der Funktion der Parabel P an der Stelle xs sein, es muss also gelten:

m = xs - 5

Außerdem soll die Gerade die Parabel an der Stelle xs berühren (i.e. tangential schneiden), es muss also auch gelten:

m * xs = 0,5 xs ² - 5 xs + 8

Setzt man hier für m den Term xs - 5 ein, so erhält man:

( xs - 5 ) * xs = 0,5 xs ²- 5 xs + 8

<=> xs ² - 5 xs = 0,5 xs ² - 5 xs + 8

<=> 0,5 xs ² = 8

<=> xs ² = 16

<=> xs = - 4 ODER xs = 4

An den Stellen xs = - 4 und xs = 4 berührt also jeweils eine Ursprungsgerade die Parabel, sodass an diesen Stellen die Aufgabenstellung erfüllt ist.

 

Die Steigungen der zu diesen Punkten gehörenden Ursprungsgeraden g und h sind

m _g = xs - 5 = - 4 - 5 = - 9

bzw.

m _h = xs - 5 = 4 - 5 = - 1

sodass also die gesuchten Geradengleichungen lauten:

g : y = m _g * x = - 9 x

h : y = m _h * x = - x