f(x) = 3x -x2 = x • (3 - x) -> Nullstellen x = 0 und x = 3 in den Punkten P(0|0) und Q(3|0)
f ' (x) = 3 - 2x
Die Tangenten in den Punkten P und Q haben die Steigungen mP = f '(0) = 3 und mQ = f '(3) = -3
Mit der Punkt-Steigungs-Formel kann man die Gleichung einer Geraden ausrechen, die die Steigung m hat und durch den Punkt (x1|y1) geht:
y = m • (x - x1) + y1
für unsere Tangenten heißt das:
t1: y = 3•(x-0)+0 -> y = 3x
t2: y = -3•(x-3)+0 -> y = -3x + 9
Aus Symmetriegründen schneiden sich die Tangenten bei x = 1,5 und sie verlaufen oberhalb der Parabel.
Daher ergibt sich für die gesuchte Fläche A = 2 • ∫01,5 (3x - (3x-x2) dx = 2 • ∫01,5 x2 dx
= 2 • [ 1/3 x3 ]01,5 = 2 • ( 1,125 - 0) = 2,25