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Welchen Inhalt hat die Fläche zwischen das Flächenstück, das die Parabel 

p: y= 3x -x2 mit ihren Tangenten in den Nullstellen einschliesst?

Lösung: 2.25


Kann mir jemand bitte diese Aufgabe Schritt für Schritt erklären?

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Ich denke, einer deiner Exponenten ist falsch, sonst ergibt sich f(x) = 2x2

Stimmt. Es wäre y= 3x-x2

Könnten Sie mir bitte  weiterhelfen?

Habe die Exponenten oben korrigiert.

Hast du die Nullstellen und die Tangentengleichungen bereits? 

y= 3x-x2

y = x(3-x)

==> Nullstellen sind x1 = 0 und x2 = 3.

y' = 3 - 2x

Steigung in x1 ist 3-0 = 3

Steigung in x2 ist 3 - 6 = -3

Aus Symmetriegründen sind beide Ergebnisse (bis auf das Vorzeichen) gleich. 

Nein noch nicht. Mein Problem ist, dass ich nicht weiss wie ich bei der ganzen Aufgabe vorgehen muss. Danke fürs helfen!☺

Nullstellen habe ich dir oben schon mal ausgerechnet.

Das beste ist natürlich dann erst mal eine Skizze.

~plot~3x-x^2 ; 3x; -3x+9; x=1.5~plot~

Die Lila-Linie teilt dein Flächenstück symmetrisch.

Es genügt somit, wenn du das linke Stück berechnest und dann das Resultat mit 2 multiplizierst. 

Anmerkung: Setze im linken Stück einen Punkt P(1 | 2.5). Der liegt im Flächenstück, das gemeint ist, und das du dann noch ausmalen kannst. 

Hier einmal der wesentliche Berechnungsweg

Bild Mathematik

Vom rechten Teil kommt nocheinmal dieselbe Fläche hinzu.

A = 2.25

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Beste Antwort

f(x) = 3x -x2 = x • (3 - x) -> Nullstellen x = 0 und x = 3 in den Punkten P(0|0) und Q(3|0)

f ' (x) = 3 - 2x

Die Tangenten in den Punkten P und Q haben die Steigungen mP = f '(0) = 3 und mQ = f '(3) = -3 

Mit der Punkt-Steigungs-Formel kann man die Gleichung einer Geraden ausrechen, die die Steigung m hat und durch den Punkt (x1|y1) geht:

 y = m • (x - x1) + y1 

für unsere Tangenten heißt das:

t1:  y = 3•(x-0)+0 -> y = 3x

t2:  y = -3•(x-3)+0 ->  y = -3x + 9

Aus Symmetriegründen schneiden sich die Tangenten bei x = 1,5 und sie verlaufen oberhalb der Parabel.

Daher ergibt sich für die gesuchte Fläche A = 2 • ∫01,5 (3x - (3x-x2) dx = 2 • ∫01,5 x2 dx

= 2 • [ 1/3 x3 ]01,5 = 2 • ( 1,125 - 0) = 2,25

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Ich verstehe diesen Schritt nicht ganz, wie man darauf kommt:

Daher ergibt sich für die gesuchte Fläche A = 2 • ∫01,5 (3x - (3x-x2) dx = 2 • ∫01,5 x2 dx

= 2 • [ 1/3 x3 ]01,5 = 2 • ( 1,125 - 0) = 2,25

was genau verstehst du denn daran nicht ?

Ist dieser Ausdruck klar ?

A = 2 • ∫01,5 (3x - (3x-x2) dx

Die Fläche ergibt sich aus zwei mal dem Flächeninhalt zwischen den Graphen 3x und 3x - x^2 in den Grenzen von 0 bis 1.5

Vergleiche dazu auch die gemachten Skizzen.

Mir ist dieser Ausdruck klar. Ich verstehe einfach nicht wie man auf 3x kommt

y = 3x ist die Tangente an der Nullstelle zu x = 0

Siehe das auch in der Skizze.

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f(x) = 3·x - x^2 = x·(3 - x)

Nullstellen f(x) = 0

x·(3 - x) = 0

x = 0 oder x = 3

Tangenten an den Nullstellen

t1(x) = f'(0) * (x - 0) + f(0) = 3·x

t2(x) = f'(3) * (x - 3) + f(3) = 9 - 3·x

Schnittstelle der Tangenten t1(x) = t2(x) 

3·x = 9 - 3·x --> x = 1.5

Fläche

A1 = ∫ (0 bis 1.5) ((3·x) - (3·x - x^2)) = 9/8

Aufgrund der Symmetrie

A = 2 · 9/8 = 18/8 = 2.25

Skizze

Bild Mathematik

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