echte Teilmenge mit Supremum

Question

Ich hätte eine Frage zu dieser Aufgabe hier:

Meine Antwort wäre jetzt, dass dies Aussage falsch ist da ja X eine richtige Teilmenge von Y ist und man somit auch denselben Supremumswert haben kann..

Stimmt es so?

Wäre über jede HIlfe dankbar! :)

Answer 1

ich denke auch, dass die Behauptung falsch ist, obwohl Deine Begründung auch falsch ist.

Nimm \( Y = \left]1; 4\right[ \) und \( X_1 = \left]1; 2\right[ \) oder \( X_2 = \left]2; 3\right[ \) oder \( X_3 = \left]3; 4\right[ \) und überlege, was passiert.

Grüße,

M.B.

Comments

ok man sieht bereits bei Y und X₃, dass das Supremum bei beiden gleich ist, womit die Behauptung sich als falsch beweisen lässt.

Stimmt es so?

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wäre cool, wenn ich eine Rückmeldung bekommen könnte :)

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Deine Überlegungen sind richtig, vollständig sind sie aber noch nicht.

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naja, in der Aufgabenstellung steht ja, dass man davon ausgeht, dass sup(X)<sup(Y) ist. Allerdings kann das ja laut meinem davorigen Kommentar nicht stimmen, denn wenn man Y und X₃ miteinander verlgeicht, dann kommen bei sup(X) und sup(Y) 4 raus, somit sind sup(X)=sup(Y). Ist es jetzt in Ordnung?

Oder fehlt da immer noch was?

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in der Aufgabenstellung steht ja, dass man davon ausgeht, dass sup(X)<sup(Y) ist.

Das steht nicht in der Aufgabenstellung!

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ok, habe ich also mit der oberen Erklärung die Aussage in der Aufabenstellung widerlegen können?

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Mit dem genannten Beispiel könnte die Widerlegung so aussehen:

$$ \text{Sei } X = \left]1; 3\right[ \text{ und } Y = \left]1; 4\right[. \\\text{Dann gilt }X \subsetneqq Y \text{ und } \sup(X)=\sup(Y).$$

Finde ein eigenes Beispiel!

Answer 2

Gegenbeispiel

X = { x ∈ℝ |  3 ≤ x ≤ 5}

Y = { x ∈ℝ  | 2 < x ≤ 5}

==> Behauptung ist falsch.

Comments

Warum soll das (in dieser Form!) ein Gegenbeispiel sein?

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@az0815:

sup(X) = sup(Y) = 5   (?) Oder wie siehst du das?

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Na, weil in deinem Beispiel offenbar \(Y \subsetneqq X \) gilt.

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Richtig. Danke.

Gegenbeispiel korrigierte Version:

X = { x ∈ℝ |  3 ≤ x ≤ 5}

Y = { x ∈ℝ  | 4 < x ≤ 5}

==> Behauptung ist falsch.