Verhältnis von Supremum A und Supremum B bei A Teilmenge von B

Question

Aufgabe:

Moin Leute, ich habe Probleme mit folgender Aufgabe:

Sei K ein angeordneter Körper.

Seien A,B ⊂ K, sodass A⊂ B und sowohl sup A als auch sup B existieren. Nun soll gezeigt werden, dass

sup A ≤ sup B

Problem/Ansatz:

Also ich kann das in Worten beschreiben. Da A eine Teilmenge von B ist, ist das sup von B auf jedenfall eine obere Schranke von A. Und falls A eine echte Teilmenge von B ist, so haben A und B das gleiche supremum. Und falls nicht, dann gibt es noch eine obere Schranke von A, die das sup A ist aber dann kleiner als sup B sein muss. Hoffe das ist verständlich und stimmt so... Vielleicht kann mir jemand helfen die Aufgabe mathematisch zu beantworten... danke

Comments

Da A eine Teilmenge von B ist, ist das sup von B auf jedenfall eine obere Schranke von A.

Mehr ist eigentlich nicht nötig. Sup A ist die kleinste obere Schranke von A und insb. dann kleiner gleich sup B.

Answer 1

Da A eine Teilmenge von B ist, ist das sup von B auf jedenfall eine obere Schranke von A.

Da das Supremum von A nicht größer als eine obere Schranke von A sein kann, muss sup A ≤ sup B sein.

Und falls A eine echte Teilmenge von B ist, so haben A und B das gleiche supremum.

Stimmt nicht.

Und falls nicht, dann

Falls A keine echte Teilmenge von B ist, dann ist A = B weil A Teilmenge von B ist. Somit ist sup A = sup B und insbesondere auch sup A ≤ sup B.

Vielleicht kann mir jemand helfen die Aufgabe mathematisch zu beantworten

Die Verwendung von mehr mathematischen Symbolen macht einen mathematischen Text nicht mathematischer.