Supremum und Infimum bei Teilmengen von ℝ bestimmen: 1 + ( (-1)^n ) / n

Question

Wir hatten in der Vorlesung Infimum und Supremum und jetzt sollen wir dazu Aufgaben machen, aber ich sehe da nicht ganz durch.

Die Aufgabe ist:

Bestimmen Sie das Supremum und das Infimum der folgenden Teilmengen von ℝ und entscheiden Sie, ob dieses jeweils angenommen wird:

(i)

$$ \left\{ 1 + \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { n } : n \in \mathbb { N } , n > 0 \right\} $$

(ii)

$$ \left\{ \frac { 1 } { a } + ( - 1 ) ^ { n } : \quad a \in \mathbb { R } , \quad a > 1 , n \in \mathbb { N } \right\} $$

Wie bestimmt man Infimum und Supremum und was heißt, ob die angenommen werden?

Answer 1

Hier geht es um die Bestimmung von oberen und unteren Schranken.

(i)

1 + (-1)^n / n wird maximal wenn ein sehr hoher Wert addiert wird. Beim Bruch muss dazu der Nenner möglichst klein sein. Unten könnte n = 1 stehen. Oben könnte (-1)^2 stehen. Damit wäre eine obere Schranke

1 + 1/1 = 2

Diese kann allerdings nicht angenommen werden, da ich oben ja n=2 und unten n = 1 voraussetze. Die wirkliche obere Schranke findet man bei n = 2

1 + (-1)^2 / 2 = 1,5

Genau so verfährt man bei der unteren Schranke. Eine untere Schranke wäre ohne zu Überlegen

1 - 1/1 = 0

Diese wird auch angenommen, wenn wir für n = 1 einsetzen.

1 + (-1)^1 / 1 = 0


(ii)

Eine Obere Schranke haben wir, wenn beide Summanden am größten sind.

1/a wird am höchsten wenn a am kleinsten ist. das ist bei etwas über eins der Fall. Wir setzen daher 1 ein. Damit wird der Ausdruck 1/1 = 1 auch wenn er nicht erreicht wird.

(-1)^n ist maximal, wenn n gerade ist. Dann ist der Ausdruck 1

Eine Obere Schranke ist also 1 + 1 = 2 auch wenn diese rechnerisch nicht erreicht wird.

Eine untere Schranke bekommen wir, wenn beide Summanden möglichst klein werden.

1/a wird am kleinsten wenn a gegen Unendlich geht. Dann geht der Ausdruck gegen Null erreicht ihn aber nicht.

(-1)^n ist minimal, wenn n ungerade ist. Dann ist der Ausdruck -1.

Eine untere Schranke ist daher 0 - 1 = -1 auch wenn auch diese rechnerisch nicht erreicht werden kann.

Bestimme z.B. für folgende Menge ein Infimum und Supremum und bestimme ob dieses jeweils angenommen wird.

{e^{- x^2} : x∈ℝ}