Wie bestimme ich das Supremum und Infimum einer Teilmenge?

Question

Ich soll jeweils das Supremum, Infimum, Maximum und Minimum bestimmen:

(a) \( A=\left\{\frac{1}{n+1}+\frac{1+(-1)^{n}}{2 n} \mid n \in \mathbb{N}\right\} \)

(b) \( A=\left\{\frac{x^{2}-2}{x^{2}+1} \mid x \in \mathbb{R}\right\} \)

(c) \( A=\left\{x \in \mathbb{R} \mid \exists y \in \mathbb{R}: \quad(x+1)^{2}+5 y^{2}<4\right\} \)

Ist Supremum schon nicht das Maximum und das Infimum das Minimum?

Answer 1

Zu deiner ersten Frage: nein. :)

Der Unterschied besteht darin, dass das Infimum und das Supremum kein Teil der Menge sein müssen.

Zu deiner zweiten Frage: Betrachte jeweils die Grenzwerte und schau dir den Verlauf des zugehörigen Graphen an.

Für (a) beispielsweise:

\( \lim \limits_{1} \frac{1}{1+n}+\frac{1+(-1)^{n}}{2 n}=\frac{1}{2}+\frac{0}{2}=\frac{1}{2} \)

\( \lim \limits_{\infty} \frac{1}{1+\infty}+\frac{1+(-1)^{\infty}}{2 \infty}=\frac{1}{\infty}+\frac{1 \pm 1}{2 \infty}=\frac{1}{\infty}+\frac{1}{\infty} \) oder \( \frac{1}{\infty}=0 \)

Für \( x=2 \) gilt: \( \frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{7}{12} \)
Für \( x=3 \) gilt: \( \frac{1}{4}+\frac{0}{6}=\frac{1}{4} \)
Für \( x=4 \) gilt: \( \frac{1}{5}+\frac{2}{8}=\frac{18}{40}=\frac{9}{20} \)

Und so weiter.

Man sieht also, dass der obere Grenzwert bei \( x=2 \) überschritten wird, Danach jedoch nie wieder. Der untere Grenzwert wird nie unterschritten. Also ist das Supremum \( \frac{7}{12} \) und das Infimum 0