Trigonometrische Substitution für das Integral 1/(x^2+1)

Question

Hallo.

Ich soll das integral zu 1/(x^2+1) durch substitution mit x=tan(y)=sin(y)/cos(y) herleiten.

Ich weiß, dass da arctan rauskommen muss, aber komme leider nicht darauf, wie ich die Substitution hier ausführen soll

Answer 1

Setze  x= tan(y)

dx/dy=  1/(cos^2(y)

dx= dy/(cos^2(y)

das setzt Du in den Integranden ein .

Dann ersetzt Du tan^2(y)= sin^2(y)/cos^2(y) und bildest den Hauptnenner.

Weiterhin setze dann  sin^2(y) +cos^2(y) =1 und kürze cos(y)

Resubstituiere

y= arc tan(x)

dann bist Du am Ziel.