tan: ℝ → ℝ , x ↦ tan(x) hat keine Umkehrfunktion, weil f nicht injektiv ist (weil es verschiedene x-Werte gibt, die den gleichen Funktionswert haben.
Wenn man aber den Definitionsbereich passend einschränkt, dann ist
f: ] -π/2 ; π/2 [ → ℝ , x ↦ tan(x) injektiv und besitzt die Umkehrfunktion
f-1: ℝ → ] -π/2 ; π/2 [ ; x ↦ arctan(x)
[ der Name arctan wird dieser Umkehrfunktion einfach per Definition zugeornet (ähnlich wie man ln als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion definiert) ]
https://de.wikipedia.org/wiki/Arkustangens_und_Arkuskotangens
> Ich soll nun anhand des Tangens, die Umkehrfunktion, also den Arkustangens definieren.
Da der Graph einer Umkehrfunktion sich aus dem der Funktion durch Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden ( = Vertauschung von x- und y-Werten) ergibt, erfüllt man diese Forderung wohl am ehesten mit der Beschreibung
arctan ist die Funktion, deren Graph die Punktmenge
{ ( tan(x) | x ) | x ∈ ] -π/2 ; π/2 [ } darstellt.
Gruß Wolfgang