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in der Vorlesung haben wir gelernt, dass der Tangens definiert ist als tan(x)= sin(x)/cos(x).

Ich soll nun anhand des Tangens, die Umkehrfunktion, also den Arkustangens definieren.

Ich habe versucht den Quotienten sin(x)/cos(x) komplex darzustellen und dann nach dem x umzustellen, komme dabei aber nicht sehr weit. Kann mir jemand einen Tipp geben wie ich den Arkustangens am besten über den Tangens definiere?

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tan: ℝ → ℝ , x ↦ tan(x) hat keine Umkehrfunktion, weil f nicht injektiv ist (weil es verschiedene x-Werte gibt, die den gleichen Funktionswert haben.

Wenn man aber den Definitionsbereich passend einschränkt, dann ist

f: ] -π/2 ; π/2 [  → ℝ , x ↦ tan(x) injektiv und besitzt die Umkehrfunktion

f-1: ℝ → ] -π/2 ; π/2 [  ;  x  ↦ arctan(x)

[ der Name arctan wird dieser Umkehrfunktion einfach per Definition zugeornet (ähnlich wie man ln als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion definiert) ]

https://de.wikipedia.org/wiki/Arkustangens_und_Arkuskotangens

Bild Mathematik


Ich soll nun anhand des Tangens, die Umkehrfunktion, also den Arkustangens definieren.

Da der Graph einer Umkehrfunktion sich aus dem der Funktion durch Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden ( = Vertauschung von x-  und y-Werten)  ergibt, erfüllt man diese Forderung wohl am ehesten mit der Beschreibung

arctan ist die Funktion, deren Graph die Punktmenge 

{ ( tan(x) | x ) |  x ∈  ] -π/2 ; π/2 [  }  darstellt.

Gruß Wolfgang

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