Beweis Integral tan^n(x)dx = 1/1-1- Integral tan^n-2(x)dx

Question

Wie kann ich für n≥2 zeigen, dass

$$\int \limits_{0}^{\frac{Π}{4}}tan^n(x)dx =\frac{1}{n-1}-\int \limits_{0}^{\frac{Π}{4}}tan^{n-2}(x) dx $$

und für a > -1, dass

$$ \int \limits_{0}^{1}x^αln^n(x)dx = \frac{(-1)^n*n!}{(a+1)^{n+1}} $$

gilt?

Answer 1

http://www2.hs-esslingen.de/~mohr/mathematik/me2/Integraltabelle.pdf

Pi/4 in Integral Nr.77 einsetzen und fertig

Formel herleiten dauert länger

Comments

Könnte es sein, dass "herleiten" genau der Sinn der Aufgabe ist?

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genau ich soll das herleiten

Answer 2

Hallo, zum ersten Integral kannst du durch partielle Integration zeigen, dass gilt: \(\int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} \left (\tan^n(x)+\tan^{n-2}(x)\right ) dx\\=\int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^{n-2}(x)\cdot (1+\tan^2(x))\ dx=\frac{1}{n-1}\) für alle \(n\geq 2\) gilt, mit der Information, dass \(\tan\left (\frac{\pi}{4}\right )=1\). Die erste Gleichheit ist ja nur Ausklammern.

Comments

Deine Logik ist interessant. Du nutzt ein eigentlich normalerweise nicht bekanntes Ergebnis, um einen Beweis zu führen.

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Also dass \(\tan\left (\frac{\pi}{4}\right )=1\) gilt, kann man auch im Bedarfsfall selber schnell nachrechnen oder man schaut in Tabellen nach.

Außerdem muss man nicht zwangsläufig immer bei der Behauptung beginnen, um diese zu zeigen. Hier ist es am Ende nur ein Umstellen einer Gleichung. Das ganze kann man hier deswegen machen, da das Integral einer integrierbaren Funktion ein linearer Operator ist.

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Früher hieß es im Abitur: Bilde die Stammfunktion von f. Um der immer extremeren Dummheit der Schüler entgegenzukommen, heißt es heute: Zeige, dass F eine Stammfunktion zu f ist.

Der fundamentale Unterschied ist, dass man den Beweis nicht über Integration von f, sondern bequemer über Differentiation von F führen kann. (Und damit spart man sich auch ganz faul, sich mit Integration überhaupt auseinandersetzen zu müssen.) Die Frage ist jedoch grundsätzlich. Warum sollte ich den Beweis überhaupt führen, wenn die Lösung doch schon dasteht.

Bis hinauf in die Universität werden in "Beweisen" Argumente angeführt, die man eigentlich überhaupt nicht wissen kann, außer man kennt das Ergebnis (welches ja eigentlich doch erst herleiten und beweisen will) bereits.

Also besser: Suche die Stammfunktion von \(\int \tan^n (x) dx \). Genau so hat ein Beweis auszusehen.

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In der Mathematik ist es eben auch wichtig sich zu fragen, was man gerade nicht weiß, außer sich nur auf das zu berufen, was man weiß, da das nicht immer ausreichend ist, einen Beweis zu führen. Ob du den Weg, den ich hingeschrieben habe nicht favorisierst, ist deine Sache, bzw. am Ende liegt es an dem Fragesteller, ob er damit weiterarbeiten will oder doch was anderes probieren möchte/will.