Differentialrechnung Umkehrregel: Möchte f(x) = tan(x) so ableiten.

Question

Die Umkehrregel beim Ableiten ist ja nicht so alltäglich , ..... naja mal eine Frage dazu ......

also wenn ich das richtig verstanden habe :

f(x) = tan(x)  
f '(x) =  1 /   g ' (x)       und g(x) ist die Umkehrfunktion von f(x) ?

->   g(x) = arc tan(y)

f ' (x) =         1               /               (arc tan(y)) '        ??

Danke für eure hilfe

Comments

Ich mach das normalerweise umgekehrt: Erst tan(x) mit der Quotientenregel ableiten und dann
tan' (x) = 1 + tan^2 (x)

benutzen bei der Ableitung der Umkehrfunktion arctan.

Answer 1

Hi,

hmm, für den tan(x) wäre ich wohl nicht diesen Weg gegangen, aber na gut^^.

 

y=f(x)=tan(x)

 

x=g(y)=arctan(y)  

g'(y) = 1/(y^2+1)

 

Formel:

f'(x) = 1/g'(f(x)) = 1/(1/(tan^2(x)+1)) = tan^2(x)+1 = 1/cos^2(x)

 

Man findet beides (tan^2(x)+1) bzw. 1/cos^2(x) als Ableitung des Tangens in den Formelsammlungen ;).

Grüße

Comments

y=f(x)=tan(x)

 

x=g(y)=arctan(y)

 

ist klar also einfach umkehrfunktion

 

und dann mit ableitung zu g'(y) = 1/(y²+1)     wie geht das ?

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Das ist eine der bekanntesten Ableitungen. Diese sollte und darf man wissen. Speziell in die andere Richtung, also beim Integrieren, spielt diese eine sehr wichtige Rolle.

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du wärst wahrscheinlich  über den weg  tan(x) =  sin(x) / cos(x)   mit quotientennregel gegangen oder?

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Das erscheint mir einfacher.

Ich kenne wenige die mittels der Umkehrregel ableiten (auch wenn sie bei uns bekannt ist). Aber da heißts wie so oft: Jeder wie er will/ wie es einem liegt.

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bei mir kennt keiner die umkehrleitung :D    ,  aber ist halt einfach schön solche tricks zu können damit sticht man aus der menge heraus

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Das ist wohl wahr. Man sollte sich allerdings auch nicht verzetteln! ;)