Parameter einer Ebene so ausrechnen, dass zwei Ebenen othogonal sind

Question

Ich habe da ein Problem mit der Parameter-Aufgabe.

Gegeben hab ich eine Pyramide mit einer dreieckigen Grundfläche.  O, A, B sind die Eckpunkte mit Parameter a. Und ich habe S, die Spitze der Pyramide mit x₃ als h. Nun soll ich h in Abhängigkeit von a so berechnen, so dass die Seitenflächen OAS und OSB zueinander orthogonal sind.

Grundsätzlich würde ich so vorgehen: OAS und OSB als Ebene aufstellen, dann jeweils den Normalenvektor bestimmen und diese dann über das Skalarprodukt zwingen orthogonal zu sein, bzw, so mein h ausrechnen, damit sie orthogonal sind.

Ist das Vorgehen schonmal grundsätzlich richtig?

Wenn ja, könnt ihr mir bei der Rechnung helfen? Ich habe die Lösung, die rauskommen muss, komme aber beim besten Willen nicht drauf, ich denke ich verrechne mich irgendwo...

Also, Rechnung:

gegeben : A(0,5a√3 / 0,5a / 0) O(0 / 0 / 0) B(0 / a / 0) S(1/6 a√3 / 0,5a / h)

E₁: (0 / 0 / 0) +s(0,5a√3 / 0,5a / 0) + t(1/6 a√3 / 0,5a / h)

E₂: (0 / 0 / 0)+ u (0 / a / 0)+ v (1/6 a√3 / 0,5a / h)

n₁: ( 0,5a*h-0*0,5a / 0*1/6 a√3-0,5a√3*h / 0,5a√3 *0,5a -0,5a*1/6 a√3) = (0,5ah / -0,5ah√3 / 2/12 a²√3 ) =

       (h / -h√3 / 1/3 a√3)

n₂: ( ah-0*0,5a / 0*1/6 a√3-0*h / 0*0,5a-a*1/6 a√3 ) = (ah / 0 / -1/6 a²√3 ) = (h / 0 / -1/6 a√3)

und jetzt das Skalarprodukt: n_1*n₂=0

-h*h+0*(-h√3)+1/3 a√3*1/6 a√3=0

-h² + 0 + 1/18 a²√3 = 0

-h² = -1/18 a²√3

h² = 1/18 a²√3

h = a √(3/324)

h = a √(1/108)

h = a/6 √(1/3)

Kann mir jemand meine Fehler finden helfen, bitte?

Answer 1

Normalenvektoren der Ebenen bilden:

[0.5·a·√3, 0.5·a, 0] ⨯ [1/6·a·√3, 0.5·a, h] = [a·h/2, - √3·a·h/2, √3·a^2/6]

[0, a, 0] ⨯ [1/6·a·√3, 0.5·a, h] = [a·h, 0, - √3·a^2/6]

Das Skalarprodukt 0 setzen:

[a·h/2, - √3·a·h/2, √3·a^2/6] * [a·h, 0, - √3·a^2/6] = 0

a^2·h^2/2 - a^4/12 = 0

h = - √6/6·a ∨ h = √6/6·a