Summen berechnen ohne Taschenrechner

Question

Wie berechnet man die Aufgabe ∑(oben 6 ,unten k=1 ) 2^k/3^k+1 ohne TR?

Answer 1

2^k/3^k+1 = (2/3)^k+1 Summe von k=1 bis 6 sind zunächst einmal sechs Summanden und damit sechs Einsen. Außerdem gilt die Summenformel für geometrische Reihen. So ganz ohne schriftliches Rechnen wird es wohl nicht gehen.

Comments

Na, prima. Wenn die Aufgabe hinterher anders lautet, als vorher, geht die Freude am Antworten etwas verloren.

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Das Tut mir echt leid,weil ich vom handy schreibe. War aber alles richtig

Answer 2

Meinst du: 2^k/3^{k+1} ?

Falls ja:

= 2^k/(3^k*3)= 1/3*(2/3)^k

https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe

Answer 3

war es das  ???

$$ \sum_{k=1}^{6}{}\frac { { 2 }^{ k } }{ { 3 }^{ k+1 } }$$
dann so :  Erst mal aus dem  Nenner eine 3 vorziehen

$$ \frac { 1 }{ 3 }\sum_{k=1}^{6}{}\frac { { 2 }^{ k } }{ { 3 }^{ k } }$$

$$ = \frac { 1 }{ 3 }\sum_{k=1}^{6}{}{(\frac { 2 }{3 })}^{k}$$

Das ist eine geometrische Reihe mit q = 2/3 die Summe ist

nach der entsprechenden Formel( q ⁶⁺¹ - 1 ) / ( q - 1 ) also hier ( mit dem 1/3 vor der Summe) :=  1/3  *    ( (2/3)⁷ - 1 ) / ( 2/3 - 1 )
=    1/3  *    ( (2/3)⁷ - 1 ) / ( - 1/3  )

=   -   ( (2/3)⁷ - 1 )   

=   1  - (2/3)⁷

= 1 -  128/ 2187 

  =  2059/2187

Comments

Wie kommst du von 2^k/3^{k+1} auf 1/3 * 2^k/3^k ?

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3^k+1 = 3^k * 3

und dann die 3 im Nenner aus der Summe ausklammern.