Für einen affinen Raum und eine Teilmenge soll man zeigen

Question

Hallo die Aufgabe lautet :

Ich hänge hier ein wenig kann mir da jemand Anästze oder Hilfestellungen geben?

Danke !

Answer 1

Für alle Q ≠ R liegt die gesamte Gerade durch Q und P in M.

Das heißt doch für alle x ∈ IR ist  P + x*Vektor(PQ)  in M .   #

Wenn du nun (1) zeigen willst, dann hast du ein P∈M und U ist die

Menge aller  Vektoren (PQ) mit Q ∈M.

Wenn also nun ein a ∈ U ist , dann gibt es einen Punkt Q ∈M mit

a =Vektor (PQ)  also   Q = P + a .

Dann ist wegen # für jedes λ ∈ IR  auch P + λa in M ,

und wenn dieses  P + λa ein Punkt S ist, dann ist

Vektor PS =  λa  und weil S in M ist, ist also  λa in U.  q.e.d.

Comments

Hallo und danke erstmals ,

du hast gesagt :

"Für alle Q ≠ R liegt die gesamte Gerade durch Q und P in M.

Das heißt doch für alle x ∈ IR ist  P + x*Vektor(PQ)  in M .   # "

ich habe mir das folgend aufgezeichnet :

Da R ja beliebig ist kann ich mir vorstellen die gesamte Gerade kann dan so verlaufen das R auf der "Verlängerung" von PQ durch x*PQ liegt ? dann weisß ich weil die gesamte Gerade laut Voraussetzung in M ist das auch x*PQ in M ist oder?

Den 2ten Punkt :

habe ich mir so vorgestellt .  Wenn S =(P+ 2a)+ 1/2*QR . Dabei ist P+2*a aus M und 1/2 QR Ebenso , also ist S in M ?

---

dann weiß ich, weil die gesamte Gerade laut voraussetzung in M ist das auch x*PQ in M ist oder?

Nein, es ist P +  x*PQ  in M und damit  ist   x*PQ in U.zum 2. Punkt:  Das Zeichen mit dem Quadrat kenne ich nicht.