affiner Raum mit Definition einer Summe

Question

Sei  A = {(a,b) ∈ℝ² : b=a²+a+1}. Wir betrachten die Abbildung   +: ℝ xA --> ℝ²gegeben durch   

wobei x ∈ ℝ und (a,b) ∈ A.

Nun habe ich drei Aussagen

a) Für alle (a,b) ∈ A und x ∈ ℝ gilt (a,b) +x ∈ A

b) (A,+) ist ein affiner Raum über ℝ, wobei + wie oben definiert ist

c) alle obigen Aussagen sind falsch

Ich checke das Thema leider noch gar nicht und es wäre mega wenn mir jemand weiterhelfen könnte

Answer 1

  Prüfen wir a nach

  x  ²  +  (  2  a  +  1  )  x  +  b  =  (  x  +  a  )  ²  +  x  +  a  +  1      (  1  )

    ist falsch, weil die linke Seite von b abhängt und die rechte nicht .

   Und Aussage b) scheint mir nicht falsch, sondern Sinn los.    Im Sinne der Gruppenteorie ist dochj ein " affiner Unterraum " ( vornehmes Wort ) nichts weiter als eine Nebenklasse bzgl. eines Untrraums.

   In der Gruppenteorie ist ja auch i.A. keine Klasse abgeschlossen außer dem Normalteiler selbst, bzgl. dem du die Klasseneinteilung durchführst. Was abgeschlossen ist, ist die quotientengruppe bzw. hier der quotientenraum .

   Überhaupt; wie denkt der sich das eigentlich?  " Von Was "  soll denn |R  ² ein Unterraum sein? Und wenn; dann hätte ich doch das Recht,   Nebenklassen dieses  |R  ² bzgl. sämtlicher Elemente des " Oberraums " zu bilden - und nicht nur aus |R  ( was übrigens keinen Sinn ergibt;  |R ist kein " Unterraum   jenes angemaulten Oberraums " )

   Mir ist bei der ganzen Sache überhaupt nicht wohl .