Menge von Abbildungen, wie viele Elemente?

Question

 M := {g: A→B | g ist bijektiv}, A und B haben jeweils n Elemente, wobei n∈ℕ.

Also die Menge aller bijektiven Abbildung, mit der Definitionsmenge A und Zielmenge B ???

Woher weiß ich, wie viele Abbildungen dieser Art es gibt?

Wie viele Elemente besitzt die Menge M, ist nun die Frage:

Angeblich sollen es n! Elemente sein, kann mir jemand eine Begründung geben (falls das stimmt) ? Wie kommt diese Anzahl zustande?

Answer 1

Wenn du erst mal eine Abbildung hast, unterscheiden sich die anderen nur in Reihenfolge

der zugeordneten Elemente.  Also gibt es n!  ( n Fakultät ) Stück.

Comments

@mathef:

https://www.mathelounge.de/386921/komplement-von-menge-zeugen#a386926

Du hast mir diese Frage vor ein paar Tagen beantwortet bzw. ein paar Tipps gegeben. Leider kann ich damit nichts anfangen. Kannst du dir das vll. nochmal anschauen?

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Das war halt auch nur ein Tipp.

ne echte Lösung hab ich da auch nicht.

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Weißt du eventuell wie die Menge aussieht, die es zu beweisen gilt?

Es heißt ja:

Gegeben sei eine Menge A⊆X. Geben Sie das Komplement der Potenzmenge P(A) in P(X) an, also P(x)\P(A). Zeigen Sie, dass die von Ihnen bestimmte Menge tatsächlich das Komplement von P(A) ist.

Weißt du wie die Menge aussieht von der hier die Rede ist?

Du hast ja geschrieben, dass das alle Teilemengen von X sind, die keine Teilmengen von A sind.

Wie würde man das in Mengenschreibweise schreiben? Kannst du mir da helfen?

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Das sind natürlich erst mal die Teilmengen von X \ A , also P( X \ A ) .

Das ist aber nicht alles. Es kommen dann ja noch die Teilmengen

von A jeweils vereinigt mit einer nicht leeren Teilmenge von  P( X \ A )
dazu .    Genauer kriege ich das auch nicht hin.

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@mathef:

Also verändert sich lediglich die Zuordnungsvorschrift jeder Abbildung, da die Mengen gleichbleiben und g bijektiv ist, muss ich nur alle Anordnungsmöglichkeiten betrachten. Warum kann man davon ausgehen, das diese Zuordnungsvorschriften auch für jede Anordnung existieren?

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weil dann  immer eine bijektive Abb. definiert ist. z.B. bei

je drei Elementen hast du zuerst etwa
1  ---->   a
2 ------>  b
3 ------>  c

sobald du rechts die Reihenfolge änderst, wird ja eine neue Abb. ( andere) bij. Abb definiert etwa


1  ---->   b
2 ------>  a
3 ------>  c


und wenn du irgendeine bij. Abb hast kannst du die

auch so aufschreiben und hast lediglich eine andere


Reihenfolge auf der rechten Seite.