Vereinfachen Sie so weit wie möglich: (a^{-2} (a+b) b^{-1})/(a(1/a + 1/b)^2 )

Question

Vereinfachen Sie so weit wie möglich:

\( \frac{a^{-2}(a+b) b^{-1}}{a\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^{2}} \)

Aufgabe zu einer Altklausur. Ich komme nicht auf die Lösung, bzw. ich kann mir nicht vorstellen dass das hier die Lösung ist:

\( \frac{a^{2}+2 a b+b^{2}}{a b+2 a^{2}+\frac{a^{3}}{b}} \)

Ist das so richtig?

Answer 1

Vereinfachen Sie so weit wie möglich!

(a^{-2} (a+b) b^{-1}) / (a(1/a + 1/b)^2 )

           |1. Ziel: Oben und unten je ein Bruchstrich

= ((a+b)/(a^2 b)) / (a((b+a)/(ab)) ^2 )

= ((a+b)/(a^2 b)) / (a((b+a)^2 /(ab)^2)

= ((a+b)/(a^2 b)) / (a((b+a)^2 /(a^2 b^2))

           |Mult. mit Kehrwert des Nenners. Dann kürzen (Farben).

=  ((a+b)(a^2 b^2)) / ((a^2 b) (a((b+a)^2 ))

= b / (a(b+a))

= b / (ab + a^2)

Schreib das mal mit Bruchstrichen ab und kontrolliere sorgfältig!