Kreisberechnung- Kegelschnitt. Kreisgleichung in Koordinatenform

Question

Ermittle die Koordinatenform eines Kreises durch P(-8/-17) und Q(9/-10) vom Radius 13!

Answer 1

P(-8/-17), Q(9/-10)

Vektor von P nach Q

VPQ = [9, -10] - [-8, -17] = [17, 7]

Mittelpunkt zwischen P und Q

MPQ = 1/2 * ([-8, -17]+[9, -10]) = [0.5, -13.5]

Kreismittelpunk liegt auf der Mittelsenkrechten von P und Q

M = [0.5, -13.5] + r * [7, -17] = [7·r + 0.5, - 17·r - 13.5]

Abstand vom Kreismittelpunkt zu P muss 13 sein.

(M - P)^2 = 13^2
([7·r + 0.5, - 17·r - 13.5] - [-8, -17])^2 = 13^2
([7·r + 8.5, 3.5 - 17·r])^2 = 13^2
338·r^2 + 84.5 = 169
r = -0.5 ∨ r = 0.5

Damit gibt es zwei Kreisittelpunkte

M1 = [7·(-0.5) + 0.5, - 17·(-0.5) - 13.5] = [-3, -5]
M2 = [7·(0.5) + 0.5, - 17·(0.5) - 13.5] = [4, -22]

Die Kreisgleichungen lauten damit

(x - (-3))^2 + (y - (-5))^2 = 13^2
x^2 + 6·x + y^2 + 10·y - 135 = 0

(x - (4))^2 + (y - (-22))^2 = 13^2
x^2 - 8·x + y^2 + 44·y + 331 = 0

Comments

Ich probier noch mal eine Graphik zu machen

Answer 2

Ermittle die Koordinatenform eines Kreises durch P(-8/-17) und Q(9/-10) vom Radius 13!

Sei M(X,Y) der Mittelpunkt des Kreises. Löse das Gleichungssystem
(-8-X)^2 + (-17-Y)^2 = 13^2 und
(9-X)^2 + (-10-Y)^2 = 13^2
nach X und Y auf und stelle damit dann die Kreisgleichung auf.

Answer 3

Ermittle die Koordinatenform eines Kreises durch P(-8/-17) und Q(9/-10) vom Radius 13!

Ansatz Kreisgleichung: (x - xM)^2 + (y - yM)^2 = 169


Mittelsenkrechte m geht durch MPQ(0.5|-13.5)

Vektor PQ = ( 17, 7)

Senkrecht dazu (-7 , 17)

Ansatz m: -7x + 17y = c           

Sollte hier sein: 17x + 7y = c. Folgefehler wären noch entsprechend zu korrigieren. Vgl. Kommentar.

MPQ einsetzen

-3.5 - 17*13.5 = c = -233

m: -7x + 17y = -233               

17y = -233 +7x

y = (-233 + 7x)/17

Radius 13.
(x - xM)^2 + (y - yM)^2 = 169

(9 - xM)^2 + (-10 - (-233 + 7xM)/17)^2 = 169

xM = 9± 17/√2

yM = 296/17 ± 7/√2

2 Lösungen:
xM = 9+ 17/√2 und yM = 296/17 + 7/√2 resp.

xM = 9- 17/√2 und yM = 296/17 - 7/√2

Einsetzen in der Kreisgleichung und dann ausmultiplizieren, kannst du sicher selbst.

(x - xM)^2 + (y - yM)^2 = 169

Bitte erst mal noch nachrechnen.

Comments

Schau dir mal deine Mittelsenkrechte an. Du hast die mit der Richtung der Mittelsenkrechten aufgestellt. Die Koordinatenform braucht aber die Senkrechte dazu. Es würde dann langen den Vektor PQ zu nehmen und nicht erst noch den senkrechten Vektor zu bilden.

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@Mathecoach: Danke.
@Fragesteller: Halte dich bezüglich Zahlen besser an die Resultate von Mathecoach. Wenn du willst, kannst du meine Antwort mit seinem Kommentar noch korrigieren.