Teilbarkeit Summe: Ist k eine ungerade Zahl, so ist A durch B teilbar

Question

Sei \( A = \sum _ { i = 1 } ^ { n } x ^ { k } \) und B = 1+2+3+...+n.

Zeige: Ist k eine ungerade Zahl, so ist A durch B teilbar.

Idee: 1+2+3+4+5+...+n = B = (n*(n+1))/2.

Ich weiß auch, dass 1³+2³+3³+...+n³ = ((n*(n+1))/2)^2 ist. Für k = 3 stimmt es also. Und wie weiter? Induktion vielleicht?

Answer 1

Das ist eine interessante Frage, die Du hier stellst. Ich habe noch nicht den ganzen Beweis beisammen, aber ich denke, den Anfang, die Richtung kann ich angeben:

Wenn Du einen Ausdruck hast a²ⁿ⁺¹ + b²ⁿ⁺¹,  so kannst Du diesen in 2 Faktoren zerlegen:

(2n+1 bedeutet, dass die Exponenten ungerade sind. Im folgenden schreibe ich nur noch n, der Vereinfachung halber,  n sei ungerade. Das n hier wäre bei Dir das k)

aⁿ + bⁿ = (a+b) * (a^n-1 - a^n-2*b + ..-... + a^2*b^n-3 - a*b^n-2 + b^n-1) für ungerade Zahlen n

Das bedeutet: aⁿ + bⁿ ist durch a+b teilbar.

Soweit bin ich schon mal gekommen, weiss aber im Moment nicht genau, wie man mit den Schlussfolgerungen fortfahren könnte, um für die ganze Summe von 1 bis n den Beweis zu führen.

Comments

:)

Aber wie kommst du auf den Term aⁿ + bⁿ = (a+b) * (a^n-1 - a^n-2*b + ..-... + a^2*b^n-3 - a*b^n-2 + b^n-1)?

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Darauf kommt man durch Polynomdivision. Wenn Du es in der umgekehrten Richtung ausmultiplizierst, heben sich alle Summanden bis auf den ersten und den letzten weg.

Nur leider nützt diese Formel nicht so viel. Für drei Komponenten stimmt es schon nicht mehr. aⁿ + bⁿ + cⁿ  ist im allgemeinen nicht durch a+b+c teilbar.

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Allgemein ist ja auch nicht gefragt - sondern nur für ungerade Exponenten. Hilft das?

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Nein, mit allgemein meinte ich nur, wenn man die Formel auf mehr als 2 Komponenten erweitert und die Abstände zwischen zwei Komponenten wären nicht 1 wie in Deinem Beispiel. Bei geraden Exponenten gilt es auch bei 2 Komponenten nicht.

Man kann mit vollständiger Induktion zeigen, dass die doppelte Summe bei n+1 Summanden durch n+1 teilbar ist, man müsste aber auch zeigen, dass sie durch n+2 teilbar ist. Dazu habe ich noch keine Lösung:

 

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Puh, das hab ich glaube ich verstanden.

Aber wie gehts jetzt weiter? Kann man das für n+2 auch noch zeigen?

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Mit etwas Surfen im Internet habe ich jetzt die Antwort gefunden. Siehe http://answers.yahoo.com/question/index?qid=20100227063304AAMpjKX

Damit kann man den Beweis auch ohne vollständige Induktion machen:

 

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Bei der untersten Formel mit dem Summenzeichen hat es noch einen Fehler: es muss heissen: 2*a_n = 2*n^k + ...

LG, Capricorn

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Ich frag einfach nochmal nach, wenn mir was einfällt!