Beweis von Teilbarkeit: Zeige, dass für alle n∈N die Zahl 3^{2n} - 1 durch 2^n teilbar ist

Question

Hi,

ich möchte meine Lösung Überprüfen

Zeigen sie, dass für alle n∈N die Zahl  3⁽²ⁿ⁾  _- 1 durch  2ⁿ    teilbar ist

meine Lösung :

I.A :  n = 0

3⁰_-  1 = 0   ist auch 2ⁿ ohne Rest teilbar

I.V : Es gelte die I.V (3⁽²ⁿ⁾  _- 1 ) ist durch  2ⁿ teilbar.

I.S n-> n+1

3²ⁿ⁺¹ _- 1 = 3²ⁿ_* 3 - 1

= 3  (  3²ⁿ  _-  1 ) - 2ⁿ  

nach I.V ist durch 2^n teilbar da die einzelnen Summanden durch 2^n teilbar sind

Comments

Die Lösung ist falsch und nicht wirklich nachvollziehbar.

Induktionsschritt ist schon falsch eingesetzt: \( 3^{2(n+1)} = 3^{2n+2} \)

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Der Ansatz für den Induktionsschritt ist

Induktionsschritt: n --> n + 1

3^{2·(n + 1)} - 1 ist durch 2^{n + 1} teilbar.

3^{2·n + 2} - 1 ist durch 2·2^n teilbar.

9·3^{2·n} - 1 ist durch 2·2^n teilbar.

Momentan sehe ich nicht wo ich die zusätzliche 2 als Faktor hernehmen soll. Daher lasse ich die Frage mal unbeantwortet.

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die zusätzliche 2

das Wort "zusätzlich" passt hier überhaupt nicht.

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Naja. Ich muss ja durch eine 2 mehr teilen können als vorher. Das ist ja nicht egal ob man durch 2^{n + 1} oder durch 2^{n} teilen kann. Oder anders. Jede Zahl die durch 2^{n} teilbar ist ist nicht automatisch auch durch 2^{n + 1} teilbar.

Aber ich lasse mich da gerne eines besseren belehren.

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du kannst ja noch nicht einmal beweisen, dass die nächste Dreierpotenz - 1  überhaupt wieder durch die alte Zweierpotenz teilbar ist  -  geschweige denn durch die nächste

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Die nächste dreierpotenz - 1 durch die alte zweierpotenz?  Kannst du mir erklären was die Aussage für einen Sinn hat.

?

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Im Induktionsschritt wäre zu zeigen, dass  3²⁽ⁿ⁺¹⁾ -1 durch  2ⁿ⁺¹  teilbar ist, aber selbst aus 2ⁿ | 3²ⁿ -1  kannst du noch nicht einmal die Teilbarkeit von 3²⁽ⁿ⁺¹⁾ -1 durch 2ⁿ folgern

Answer 1

Die Aussage stimmt nicht. Nehme n=5 als Gegenbeispiel.