Zeige für alle n∈N, dass 5^(2n) - 3^(2n) durch P teilbar ist

Question

Aufgabe:

Zeige für alle n∈N, dass 5^(2n) - 3^(2n) durch P teilbar ist

Problem/Ansatz:

Was ist P wie gehe ich vor

Comments

gelöschtttttttttttttttttttttttttttttttt

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Das steht da nicht das ist mein Problem

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Das muss definiert sein.
Ist die Aufgabe vollständig?

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Kann P eventuell für Primzahl stehen

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Was ist gelöschtttttt

Hab die Aufgabe nur so bekommen

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Dann ist die Aufgabe nicht lösbar.

Answer 1

Eine Standardaufgabe zur vollständigen Induktion ist Teilbarkeit durch 8 zu zeigen. Aufgabe und Lösung dazu findest Du im Internet, falls nötig, https://www.studocu.com/de/document/karlsruher-institut-fur-technologie/grundbegriffe-der-informatik/induktion-aufgaben-loesungen/11864818

Comments

Ok Dankeschön.

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Wenn die Formel \(x^n-y^n = (x-y)\sum\limits_{i=0}^{n-1} x^{n-1-i}\,y^i\) bekannt ist (oder Du sie herleiten willst), ist auch ohne Induktion klar, dass 16 ein Teiler ist (x=25, y=9).

Übungsaufgaben dienen ja dazu, den Stoff aus der Vorlesung zu üben. Zu welchem Thema diese Aufgabe gehört, weißt aber nur Du allein.

Answer 2

Vermutlich ist P =4. Für n∈ℕ ist 5²ⁿ - 3²ⁿ durch 4 teilbar.

Comments

5^{2n} - 3^{2n} ist sogar durch 8 teilbar. Man schaut sich einfach mal die ersten 3 Zahlen an, die herauskommen und äußert eine Vermutung.

Answer 3

Für \(n=1\) ist der Term offenbar durch \(16\) teilbar. Das gilt natürlich auch für \(n=0\). Vielleicht gilt es für alle \(n\)?

Comments

Okay, machen wir uns mal an den Beweis:

Wir wollen zeigen, dass jede Zahl der Form \(5^{2n} - 3^{2n}\) für alle \(n\in\mathbb{N}_0\) durch \(16\) teilbar ist.

Um dies zu tun, beweisen wir die etwas allgemeinere, aber leichter zu behandelnde Aussage \(25^{n} \equiv 9^{n} \mod 16\) für alle \(n\in\mathbb{N}_0\) durch vollständige Induktion.

Der Induktionsanfang für \(n=0\) ist offensichtlich.

Nun nehmen wir an, die Aussage gelte für irgendein \(n\in\mathbb{N}_0\), und untersuchen die Aussage $$25^{n+1} \equiv 9^{n+1} \mod 16.$$ Sie ist gemäß den Potenzregeln gleichwertig zu $$25\cdot 25^{n} \equiv 9\cdot 9^{n} \mod 16.$$ Nach unserer Induktionsannahme lassen die beiden Potenzen in obiger Kongruenzgleichung beim Teilen durch \(16\) jeweils den gleichen Rest, sodass sie aus der Gleichung herausgekürzt werden können. Wir erhalten $$25 \equiv 9 \mod 16,$$ was wegen \(25=16+9\) sicher wahr ist. Damit schließt der Beweis und es folgt die ursprünglich zu zeigende Aussage als Spezialfall.

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Dafür brauchst du keine Induktion.

Es gilt $$25 \equiv 9 \mod 16$$

und damit gilt auch $$25^n \equiv 9^n \mod 16$$

bzw.

$$5^{2n} \equiv 3^{2n} \mod 16$$

bzw.

$$5^{2n}- 3^{2n} \equiv 0 \mod 16$$

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Dafür brauchst du keine Induktion.

Ja, ich weiß. aber ich wollte es nun mal mit Induktion machen, denn damit geht es eben auch. Natürlich ist in diesem ebenso wie in vielen anderen Fällen eine einfache Kongruenzrechnung deutlich schneller und auch irgendwie schicker.