Teilbarkeit Beweis verstehen von "Für alle n Element aus N gilt: n^5-1 ist durch 5 teilbar ". Bzw: n^5 - n

Question

Ich versuche gerade einen Beweis für die folgende Aussage zu verstehen: Fuer alle n Element aus N gilt: n^5-1 ist durch 5 teilbar

Mir ist klar, dass wenn n durch 5 teilbar ist, auch n^5 durch 5 teilbar ist und ich verstehe auch, warum, aber warum bleibt immer 1 rest wenn man n^4 durch 5 dividiert?

Zweite Version aus Kommentar:

Die zu beweisende Aussage lautet: Alle n^{5}-n sind durch fünf teilbar.

Comments

Tut mir leid, habe mich vertippt. Die zu beweisende Aussgae lautet alle n^5-n sind durch funf teilbar

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Vom Duplikat:

Titel: Beweis Teilbarkeit schreibfehler ausgebessert

Stichworte: teilbarkeit

Ich versuche gerade einen Beweis zur Teilbrakeit zu verstehen: für alle n Element aus N gilt n^5-n ist durch 5 teilbar. Dabei verstehe ich nicht, warum beiDivision von n^4 durch 5 immer 1 rest bleibt wenn n nicht durch 5 teilbar ist

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Beweis mit vollständiger Induktion unter:

https://www.mathelounge.de/570269/teilbarkeit-beweis-verstehen

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Es gibt schon 2 Antworten zur ursprünglichen Behauptung.

Die dritte und vierte Antwort passen zur  Behauptung. n^{5}-n ist durch 5 teilbar.

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wenn man die Fragen migriert hätten sie besser unter der verbesserten Fragestellung migriert werden sollen anstatt unter der verkehrten.

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Das kann ich als Redakteur nicht mehr ändern.

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Zweite Version gleiche Behauptung wie: https://www.mathelounge.de/96260/vollstandige-induktion-n-n-4-1-teilbar-durch-5

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Hoffentlich werden die beiden Threads jetzt nicht auch noch zusammengelegt...

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Welcher Link zeigt, dass es auch ohne Induktion geht?

Dass es ohne Induktion gilt hat "Gast az0815" unten in meiner Antwort sehr schön und einfach erklärt. Und klar ist dieser Weg zu bevorzugen, wenn man noch keine Induktion im Unterricht besprochen hat. Ansonsten ist die Induktion ein sehr schönes Beweisverfahren für solche Art Aufgaben und wenn es bereits behandelt worden ist, kann man das dann auch gerne Benutzen. Alleine zur Übung.

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Umgekehrt. Sorry.

https://www.mathelounge.de/96260/vollstandige-induktion-n-n-4-1-teilbar-durch-5 wurde zwei mal eine Induktion gemacht.

Im Verlauf der Diskussion hier kommen Beweise ohne Induktion vor.

Answer 1

Induktionsanfang: n = 1

1^5 - 1 = 0 ist durch 5 teilbar
wahr

Induktionsschritt: n --> n + 1

(n + 1)^5 - (n + 1) ist durch 5 teilbar

(n^5 + 5·n^4 + 10·n^3 + 10·n^2 + 5·n + 1) - (n + 1) ist durch 5 teilbar
n^5 + 5·n^4 + 10·n^3 + 10·n^2 + 4·n ist durch 5 teilbar
(n^5 - n) + (5·n^4 + 10·n^3 + 10·n^2 + 5·n) ist durch 5 teilbar
(n^5 - n) + 5·(n^4 + 2·n^3 + 2·n^2 + n) ist durch 5 teilbar
Die erste Klammer ist durch n teilbar. In der zweiten Klammer, kann man den Faktor 5 ausklammern und damit ist auch sie durch 5 teilbar.

Comments

Danke, aber ich verstehe es immer noch nicht. Warum ist (n+1)⁵-(n+1) durch 5 teilbar? Und warum ist n^5-n durch5 teilbar? Das zu beweisen ist doch die urspruengliche Aufgabe, oder?

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Betrachte es doch einmal so:
(1) n^5 besitzt immer denselben 5er-Rest wie n.
(2) Daher hat n^5-n den 5er-Rest 0 und
(3) muss daher durch 5 teilbar sein.

Aussage (1) lässt sich leicht durch Nachrechnen zeigen:
n ≡ 0   ⇒   n^5 ≡ 0
n ≡ ±1   ⇒   n^5 ≡ ±1
n ≡ ±2   ⇒   n^5 ≡ ±32 ≡ ±2

Mehr gibt es nicht zu tun.

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Wenn du Probleme hast mine Antwort zu verstehen, dann hast du vermutlich das Beweisprinzip der vollständigen Induktion nicht verstanden.

Weiterhin ist und bleibt unklar ob es deine Aufgabe war zu beweisen, dass n^5 - n durch 5 teilbar ist.

Man könnte es schlicht und einfach dann so machen wie "Gast az0815" in dem Beitrag erwähnt hat.

Solltet ihr aber bereits mal die vollständige Induktion behandelt haben wäre es günstig sich das nochmals anzusehen. Man kann auch auf sehr schöne Youtube-Videos zurückgreifen.

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Meine Aufgabe war zu beweisen, dass n^5-n durch 5 teilbar ist. Ich hatte bereits einn Beweis, verstehe ihn nur teilweise nicht:

Fuer alle n durch 5 teilbar gilt n^5 ist durch n teilbar

daher ist auch n^5-n teilbar wenn n durch n teilbar ist

Wenn n nicht durch 5 teilbar ist gilt n^4≡1 mod 5 (hier haenge ich)

Da n(n^4-1)=n^5-n gilt, gilt n^5-n≡0 mod 5

Von vollstaendiger Induktion habe ich noch nie etwas gehoert und es steht auch nichts in dem Buch, aus dem die Aufgabe stammt.

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Wenn n nicht durch 5 teilbar ist gilt n^4≡1 mod 5 (hier haenge ich)

Für die vier von 0 verschiedenen Reste mod 5 gilt, wie leicht nachzurechnen ist, $$\left(\pm 1\right)^4 \equiv \left(\pm 2\right)^4 \equiv 1 \mod 5$$

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Von vollstaendiger Induktion habe ich noch nie etwas gehoert und es steht auch nichts in dem Buch, aus dem die Aufgabe stammt.

Dann brauchst du das auch nicht mit vollständiger Induktion machen.

Es gibt ja meist mehrere Wege die zum Ziel führen. Das gute ist das jeder gemäß seinem Wissen einen anderen Weg wählen kann.

Da es bei Modulo 5 ja nur 4 verschiedene Reste geben kann ist es ein einfaches, es einfach für alle Reste durchzugehen.

n^5 - n mod 5 = 0 ???

1^5 - 1 mod 5 = 0 --> wahr

2^5 - 2 mod 5 = 0 --> wahr

3^5 - 3 mod 5 = 0 --> wahr

4^5 - 4 mod 5 = 0 --> wahr

da nun aber gilt

n^5 - n mod 5 = n^5 mod 5 - n mod 5 = (n mod 5)^5 mod 5 - n mod 5 hast du es damit für alle n gezeigt.

Answer 2

Nach dem kleinen Satz von Fermat ist für alle natürlichen Zahlen n≠5 n⁴-1 durch 5 teilbar.

Answer 3

Alternativ ohne Induktion: n⁵-n=∑_k=1,...,n[k⁵-(k-1)⁵]-n=5∑_k=1,...,n(k⁴-2k³+2k²-k)∈5ℤ.

Answer 4

Fuer alle n Element aus N gilt: n^5-1 ist durch 5 teilbar

Gegenbeispiel 2^5 = 32 und  32-1 = 31 ist nicht durch 5 teilbar !

Answer 5

Fuer alle n Element aus N gilt: n⁵-1 ist durch 5 teilbar. Stimmt nicht.

Fuer alle n Element aus N, die nicht den Teiler 5 haben, gilt: n⁴-1 ist durch 5 teilbar

Das ist ein Spezialfall des kleinen Satzes von Fermat